配对求和：正着写，倒着写，为什么要除以二

题目

先求 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8 的和。试着把同一串数倒过来再写一行，让上下两个数相加。

如果改为 1＋2＋……＋9，项数是奇数，还能这样配对吗？中间一项应怎样处理？

最后说明：从 1 一直加到正整数 $n$，怎样不用逐项相加就求出总和？请说明为什么，而不只写出式子。

答案：1 加到 8 的和是 36；1 加到 9 的和是 45。1 一直加到正整数 n，总和是 n(n＋1)÷2。

核心：对每次增量相同的一串数，正着、倒着各写一行，每列都等于首项加末项。两行算出了两份总和，最后要除以 2。

播放时看每一列怎样配成相同的和，再数一共有几列。特别检查：中间一列里的两个数，来自同一份还是两份数？

互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。

按步骤看图，自己说出理由

点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。

1．求总和，先找相同的和

两排是两份；每列相加后，还要除以 2。

要算一加二，一直加到八，逐个累加可以算，但还可以换一种排法。把这些数再写一遍，准备放在下面。上下两排包含完全相同的数，所以两排的总和，是原来总和的两倍。接下来试着把下面一排倒过来。

2．倒序排好，每列一样

两排是两份；每列相加后，还要除以 2。

(1 + 8) × 8 ÷ 2 = 36

看下面一排慢慢倒过来，和上面每一格对齐。第一列是一加八，第二列是二加七，每一列都是九。上面的数每次多一，下面的数每次少一，两边抵消，所以每列的和不变。八列一共八个九，得到七十二。

3．两份的和，要除以二

两排是两份；每列相加后，还要除以 2。

(1 + 8) × 8 ÷ 2 = 36

七十二是两排的总和，不是题目只要的一排。所以还要除以二，得到三十六。对任何固定增量的一列数，首项和末项的和，都等于第二项和倒数第二项的和。用首项加末项，乘项数，再除以二，就得到原来的总和。

4．项数为奇数，也能用两排

两排是两份；每列相加后，还要除以 2。

(1 + 7) × 7 ÷ 2 = 28

换成一加二，一直加到七。两排倒序对齐，每列都是八，一共七列，所以原来的总和是七乘八再除以二，得到二十八。即使项数是奇数，两排法也不怕中间剩一个。注意先算清有几项，项数不一定等于末项。

这一课借用固定增量课的关系。只需要加减乘除；用 S 暂时记住要算的总和，用字母是为了把一整串一起处理。

生活里的它：高斯的算法

数学家高斯小学时，老师让全班算 1 加到 100。他没有逐项相加，而是发现 1＋100＝101、2＋99＝101……首尾配对，每对都是 101，一共 50 对，所以答案是 5050。本课把同样的办法用在 1 加到 8：**正着写一行、倒着写一行，每列相同，最后除以 2。**排队时从两头同时数人、发作业本从两边往中间发，都是这种“两头一起走”的思路。

先把 1 到 8 写成两行

同一个和只换了顺序，数和个数都没有改变，所以两行都是 S：

$$S=1+2+3+4+5+6+7+8$$ $$S=8+7+6+5+4+3+2+1$$

上下对齐相加，1 配 8，2 配 7，直到 8 配 1。每一列都等于 9，一共有 8 列：

$$2S=8\times9=72$$ $$S=72\div2=36$$

为什么除以 2？因为把同一个和写了两行，算的是两份 S。这里的 8 是列数，不是配成了 8 对互不重复的原数。

为什么每列都一样

第一行向右一格增加 1，第二行向右一格减少 1。一边多出的 1，正好抵掉另一边少的 1，因此每列都与第一列一样，等于 1＋8。

这个理由不只检查了前两列。因为每向右一步都这样增加、减少，所以后面的各列也一样。

换成 1 到 n，列数是 n

从 1 一直加到 n，每次增加 1，共有 n 项。倒写一行以后，每列都等于 1＋n，共有 n 列。

$$2S=n(n+1),\qquad S=\frac{n(n+1)}2$$

n 表示项数，也恰好是末项。这两件事在“从 1 到 n、每次加 1”时相同；换一串数时，就要重新数项数。

项数是奇数，中间一项怎么办

1 加到 9，可以在原来的一份数里配首尾：1＋9、2＋8、3＋7、4＋6，共 4 对，每对 10；中间剩下 5，要单独加上。

$$4\times10+5=45$$

也可以仍写正倒两行。此时有 9 列，每列等于 10。中间一列是 5＋5：一个来自第一行，一个来自第二行，没有重复算同一行的数。

$$2S=9\times10,\qquad S=90\div2=45$$

所以两行配对不怕项数为奇数。怕的是只写一份、只配首尾，却把中间一项漏掉。

自测：先说一共有几项

自测 1：项数多了，理由没变

求 1＋2＋……＋20。请说明两行相加时，每列是多少，一共有几列。

核对第 1 题

210。正倒两行共有 20 列，每列是 1＋20＝21，所以两份总和为 20×21＝420，一份为 420÷2＝210。

每次第一行加 1、第二行减 1，列和保持相同，这才是能配对的理由。

自测 2：末项不等于项数

求 5＋10＋15＋20＋25＋30＋35＋40。项数是多少？能直接把 40 当 n 放进 n(n＋1)÷2 吗？

核对第 2 题

有 8 项，总和 180；不能把 40 当项数。这些数是 5 的 1 倍到 8 倍，所以有 8 项。

固定增量是 5。正倒两行各列都是 5＋40＝45，两份总和为 8×45＝360，因此一份为 180。也可以算 5×(1＋2＋……＋8)＝5×36＝180。

自测 3：只配首尾，漏了什么

求 1＋2＋……＋11。有一种算法说：“首尾配成 5 对，每对 12，所以和是 60。”哪里漏了？正确总和是多少？

核对第 3 题

漏了中间的 6；正确总和是 66。5 对用掉 10 个数，第 6 个数没有配对，应算 5×12＋6＝66。

若改用两行，11 列每列 12，再除以 2：11×12÷2＝66。两种算法都可以，数清自己写的是一份还是两份。

下次遇到一长串求和，先检查首尾能否配成相同的和；再数项数，最后核对有没有漏掉中间项或忘记除以 2。