固定增量与共边图形：每次究竟多多少

题目

数的变化。 一串数从 2 开始，以后每一项都比前一项大 3，开头是 2，5，8，11，……。求第 10 项，并用含有项号 $n$ 的式子表示第 $n$ 项。

图的变化。 用同样长的火柴沿直线搭正方形。第 1 幅有 1 个正方形。以后每次在右端接 1 个正方形，新正方形只与前一个共用一整条边，其他边不重合。每条边放 1 根火柴，共用的边只放 1 根，内部共边也保留。

搭 8 个这样的正方形需要多少根火柴？搭 $n$ 个需要多少根？请从拼法说明每次增加多少根。这里 $n$ 是正整数。

答案：数列的第 10 项是 29，第 n 项是 3n−1；连排 8 个正方形要 25 根火柴，n 个要 3n＋1 根。

核心是同一句话：先算第一个，再加上后面每次增加的数量。两道题都“每次多 3”，起点却不同。

播放时先盯住相邻两项的差，再看新正方形接上的那条边。试着说清：共边还在，为什么不用再添一根？

互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。

按步骤看图，自己说出理由

点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。

1．先比较相邻两项

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	2	5	8	11
相邻增加	起点	+3	+3	+3

第 1 项是起点；到第 4 项只走 3 次 +3

第 1 项 → +3 第 2 项 → +3 第 3 项 → +3 第 4 项

看二、五、八、十一，先别急着猜下一项。把后面一项减去前面一项，三个结果都是三。每次增加同样多，才可以沿用这个规则。只看到几个数，还不能保证后面一定这样走，本课约定每次都加三。

2．第几项，不是加几次

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	2	5	8	11
相邻增加	起点	+3	+3	+3

第 1 项是起点；到第 4 项只走 3 次 +3

第 1 项 → +3 第 2 项 → +3 第 3 项 → +3 第 4 项

从第一项二开始，看箭头一格一格向右走。走到第四项，只经过三次增加，每次加三。第一项本身不需要再加一次，所以第几项，比增加的次数多一。用二，加上三乘增加的次数，就能找到任意一项。

3．共用一条边，只加三根

粗实线是最后添入的火柴，虚线是两图共用的边。共用边保留，只算一根。

4 个接好后：4 + 3 × 3 = 13 根

把正方形一个接一个排起来，连接处共用一条边。看新增的正方形靠过来，它只带来三根新火柴，因为左边那一根已经有了。第一个要四根，再接三个正方形，就增加三次三根，一共十三根。这里算全部边，内部共用的边也算一根，但不重复算。

4．换个数量，保留结构

粗实线是最后添入的火柴，虚线是两图共用的边。共用边保留，只算一根。

6 个接好后：4 + 5 × 3 = 19 根

现在排六个正方形。先留住第一个的四根，再加五次三根，一共十九根。不是六次，因为六个正方形只有五个连接处。换成十个时，先不要一根根数，请自己说明要增加几次，再去做下面的检测题。

第几个位置，就是项号

一串数里的每个数叫一“项”。从左到右数，第几个位置就是它的项号，从 1 开始。

用 n 表示任意一个正整数项号。第 n 项就是“第 n 个位置上的数”。3n 表示 3×n。

生活里的它：存钱罐

存钱罐里已经有 2 元，以后每周再存 3 元。各周的总钱数正是 2、5、8、11，……：起点是已有的 2 元，“每次加 3”是每周的存款。问第 10 周有多少钱，不必一周周数——已有 2 元，再加 9 个周的存款。爬楼梯、汽车里程表都是同一个样子：一个起点，加上走了几步。

2，5，8，11：先找每次增加多少

算后一项减前一项：5−2＝3，8−5＝3，11−8＝3。题目还明确说，以后每次都加 3。因此第 5 项是 14，第 6 项是 17。

只要下一项，可以再加一次。要求第 10 项，就数清从起点到那里一共加了几次：

$$2+3\times(10-1)=29$$

换成第 n 项，理由不变：第 1 项已经是 2，后面还有 n−1 步。

$$2+3(n-1)=3n-1$$

这里的式子表示：从 2 开始，添上 n−1 份 3。用 n＝1 检查，得到 2，起点对上了。

共边正方形：数字之外，还要看拼法

第一个正方形用 4 根火柴。再接一个时，它的一条边已经有了，所以只添上另外 3 条边。于是火柴数依次是 4、7、10、13。

为什么后面也一直多 3？题目规定，新正方形每次只共用一整条边。已有那条边保留，其余 3 条都是新边。这个拼法每次都一样。

因此，8 个正方形就是“第一个的 4 根，加上后面 7 次各添的 3 根”：

$$4+3\times(8-1)=25$$ $$4+3(n-1)=3n+1$$

也可以先把 n 个分开放，算成 4n 根。沿直线接起来，有 n−1 处共边。每处两条边合用一根，所以每处少算一根：

$$4n-(n-1)=3n+1$$

两种算法相同。这里连内部共边也搭火柴，不是只数整幅图的外边框。

换成别的图，先重算新增部分

如果每添一个图都只多相同的数量，就仍可用“第一个＋每次增加的数量×后面的次数”。要重新找起点与增量，不要照搬 3n＋1。

拼法一旦改变，也要重数共边。例如，新正方形同时共用两条边，它就只添 2 根。此时“每次只多 3”这个理由已经变了。

自测：先说方法，再展开答案

自测 1：起点和增量都换了

从 7 开始，每次增加 5，得到 7，12，17，22，……。求第 15 项，并表示第 n 项。为什么算式里不是加 15 次？

核对第 1 题

第 15 项是 77，第 n 项是 5n＋2。相邻两项都差 5，且题目规定继续这样增加，所以用固定增量。

第 1 项的 7 已经在起点里。到第 15 项只再加 14 次：7＋5×14＝77。一般是 7＋5(n−1)＝5n＋2。

自测 2：跳到更多个正方形

仍按原题的连排拼法搭 20 个正方形。需要多少根火柴？写出“第一个”和“后面增加的”，再用 1 个正方形检查一般式。

核对第 2 题

61 根。第一个用 4 根，后面 19 个各添 3 根，所以 4＋3×19＝61。

一般式 3n＋1 在 n＝1 时是 4，正好对应第一个正方形。增量正确，还要检查起点。

自测 3：把正方形换成三角形

用火柴接三角形。第一个用 3 根；以后每添一个，只与已有图形共用一整条边，别处都不相碰。共边保留。9 个要多少根？一般式还是 3n＋1 吗？

核对第 3 题

19 根；一般式是 2n＋1。新三角形有 3 条边，其中 1 条已存在，每次只添 2 根。

因此 3＋2×8＝19；一般为 3＋2(n−1)＝2n＋1。能借用的是“先算第一个，再算每次增加”，不是正方形的数字。

下次先问：每次增加的数量固定吗？若固定，再找起点，并数清一共改变了几次。