数列是什么：顺序、项号与说理由

题目

下面四个小题，都不需要计算技巧，只需要把“位置”“数”和“规则”分清。

（1） 4、4、2、4 是一个数列吗？2、9、2、9、2 呢？说明理由。

（2） 在数列 8、3、8、5 中：

• 第 3 个数是多少？
• 这个数列一共有几项？末项是多少？
• “3”和“第 3 个”是同一回事吗？

（3） 一个数列只给了前四项：1、2、3、4。请你写出两种都符合这四项、但第 5 项不同的继续方式，并分别写出按每种方式得到的第 5 项。

（4） 一个数列的第 1 项是 2，并且每一项与前一项的差都是 3。

• 用“下一项 ＝ 这一项 ＋ 3”写出它的前 4 项；
• 它的第 4 项是多少？前 4 项的和是多少？
• 不逐项相加，说明 1＋2＋3＋4 ＝ 10 为什么成立。

答案：（1）4、4、2、4 和 2、9、2、9、2 都是数列——顺序确定就行，数可以重复。（2）第 3 个数是 8；一共 4 项，末项是 5；“3”是一个项值，“第 3 个”是一个位置，不是一回事。（3）规则 A“每次加 1”得第 5 项 5；规则 B“1、2、3、4 循环”得第 5 项 1，两个规则都符合前四项。（4）前 4 项是 2、5、8、11；第 4 项是 11，前 4 项的和是 26；1＋2＋3＋4＝10 用两行法说明：顺写、倒写各一份，每列都是 5，两份 20，一份 10。

核心：这门课所有的方法都站在三块地基上——顺序是数列的一部分；位置和数值分开记；猜想要有依据才算数。本课再往上加两块砖：用式子说“下一项”，用两行法算“前几项的和”。

互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。

按步骤看图，自己说出理由

点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。

1．什么是“一项”

两个 8 数值相同、位置不同——它们是两项。顺序确定，就是数列。

把一些数按确定的顺序排起来，就得到一个数列。数列里的每一个数，叫作一项。看这串数：八、三、八、五，它一共四项。两个八数值相同，却站在不同的位置上，是两项。只要顺序确定，它就是数列；不要求越来越大，也不要求没有重复。

2．项号、项值、项数，三个词分开问

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	8	3	8	5

第 3 项是 8，不是 3；共 4 项；末项是 5。项号、项值、项数各管各的。

把项号写在上面一行，数值写在下面一行，上下对齐。第三项是八，不是三：三是项号，八是项值。这一列共有四项，末项是五。项号回答排在第几个，项值回答这个数是多少，项数回答一共有几项。三个词各管各的，做后面的题全靠它们不混。

3．数列可以长成什么样

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	5	5	5	5

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项
数值	1/2	1/4	1/8

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	2	9	2	9

不变、变小、成组重复——顺序都确定，都是数列。

数列可以有很多样子。五、五、五、五，每项都相同；二分之一、四分之一、八分之一，越来越小；二、九、二、九，一组一组重复。它们都是数列，因为顺序都确定了。有没有一眼看出的规律，和它是不是数列，是两个不同的问题。

4．文字规则变成式子

a_n＋1 ＝ a_n ＋ 3　读作：下一项 ＝ 这一项 ＋ 3

下标 n 是任意一个位置；n＋1 是它的下一个位置。

规则“每次加三”，可以用式子说：下一项，等于这一项，加三。屏幕上把它写成带下标的字母：下标写到几，就是第几项；下标加一，就是它的下一项。所以这个式子仍然只在说一句话——下一项，等于这一项，加三。字母式子只是把这句话压缩成可以反复使用的工具。

5．用式子一步步走（递推）

a₁ ＝ 2，此后 a_n＋1 ＝ a_n ＋ 3

这就是递推：不直接报出第几项，只说下一步怎样走。

用这个式子走一遍。第一项是二，下一项就是二加三，得五；再走一步，五加三，得八；八加三，得十一。想要第五项，就在十一上再加一次三，得十四。这种由前一项算出下一项的方式，叫作递推。它不直接报出第几项是多少，只告诉你下一步怎样走。

6．前几项的和，是另一件事

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	2	5	8	11

第 4 项
a₄ ＝ 11
只看最后一格

前 4 项的和
S₄ ＝ 2＋5＋8＋11 ＝ 26
整串合起来

两个问题，两个记号

把前几项加起来，得到的是一个新的数。二加五，加八，加十一，等于二十六。注意区分：第四项是十一，前四项的和才是二十六。一个问最后一格是多少，一个问整串合起来是多少，是两个不同的问题，记号也不同。

7．两行法：为什么除以二

两份合计：4 × 5 ＝ 20，所以 S₄ ＝ 20 ÷ 2 ＝ 10

除以 2，是因为原数列被写了两遍。

换成最简单的一串：一、二、三、四。先顺着写一行，再倒着写一行。每一列上下相加，都是五，一共四列，两行合计二十。但两行写的是同一串数，每一行都算一份，所以一份是二十除以二，等于十。最后必须除以二，因为原数列被数了两遍。

8．换成 1 到 n

1 ＋ 2 ＋ ⋯ ＋ n ＝ n×(n＋1) ÷ 2

完整推导与更多用法见“配对求和”一课；先会说出为什么要除以 2。

把四换成任意的项数，两行法照样用：还是那么多列，每一列的和，都等于项数加一。两行合起来，再除以二，就得到从一加到任意项数的和。这个式子先记住样子，完整的推导和更多用法，在配对求和那一课专门讲。现在请你用自己的话说出：为什么要除以二。

9．猜到，还要有依据

1，2，3，4，？

规则 A：每次加 1
第 5 项 ＝ 5

规则 B：1、2、3、4 循环
第 5 项 ＝ 1

线索 → 猜想 → 依据（规则才让规律继续）

回到一个容易被忽略的问题：只看到一、二、三、四，能说下一项一定是五吗？规则每次加一，得到五；规则一、二、三、四循环，得到一。两个规则都符合前四项。所以猜到以后还要找依据：题目给出规则，或者给出图形的生成方式，规律才能一直用下去。

10．带走：三块地基

① 顺序是数列的一部分
位置与数值分开记

② 下一项 ＝ 这一项 ＋ d
文字规则变成式子

③ 求和先想整体
两份拼好，再除以 2

带走三句话。第一，顺序是数列的一部分，位置和数值分开记。第二，下一项等于这一项加几，是把文字规则变成式子的第一步。第三，求前几项的和，先想整体：两份拼好，再除以二。后面的每一课，都站在这三块地基上。

一、什么是数列，什么是“一项”

把一些数按确定的顺序排起来，就得到一个数列。这句话里最要紧的是“确定的顺序”：

• 4、4、2、4 是数列。四个位置已经定好，数重复不碍事。
• 2、9、2、9、2 也是数列，而且能看出“2、9”一组的循环——但就算看不出任何花样，它仍是数列。
• 数可以是分数、可以越来越小、可以有负数；可以有最后一项（有限数列），也可以按规则一直写下去（无限数列）。

数列里的每一个数，叫作一项。“项”不是整串数，而是其中一个位置上的一个数。就像公交车站台上的一个座位对应一位乘客：第 3 号座位上坐的是谁，和“3”这个座位号，是两回事。8 出现在第 1 和第 3 个位置上，就是两项——数值相同，位置不同。

要防止三个误会：以为数列必须越来越大；以为每个数只能出现一次；以为“看不出简单规律”就不算数列。有没有好找的规律，和是不是数列，是两个问题。

二、项号、项值、项数：三个词管全程

对着左图把三个词读一遍：

词	意思	在 8、3、8、5 里
项号	排在第几个位置	第 3 项的项号是 3
项值（项）	那个位置上的数	第 3 项的项值是 8
项数	一共有多少项	4 项；末项的数值是 5

“第 3 项是 8”写成 a₃ ＝ 8；随便指一个位置写成 aₙ，n 代表项号，从 1 开始。下标是位置编号，不是乘法：a₃ 不是 a×3。项数和末项也常常不相等——这里 4 ≠ 5。

三、“下一项”用字母怎么说

规则“每次加 3”是一句话。要让它能反复使用，把它压缩成式子：

$$a_{n+1} = a_n + 3$$

读作：下一项 ＝ 这一项 ＋ 3。下标 n 表示任意一个位置，n＋1 就是它的下一个位置。配合上方动画第 4、5 步：箭头逐个亮出“＋3”，数卡一张张走到 14。从 a₁ ＝ 2 出发：a₂ ＝ 2＋3 ＝ 5，a₃ ＝ 5＋3 ＝ 8，a₄ ＝ 8＋3 ＝ 11，a₅ ＝ 11＋3 ＝ 14。

这种由前一项算出下一项的方式叫递推。它和“直接用项号算项值”是两种给法：

给法	式子	用起来
递推	aₙ₊₁ ＝ aₙ ＋ 3	一步步走，求近处方便
通项	aₙ ＝ 2＋3(n−1)	直接跳到第 n 项

通项公式为什么长那样，固定增量课专门讲；本课先会把文字规则变成递推式子。式子还可以整个反过来用：知道 aₙ₊₁ ＝ 8，就知道 aₙ ＝ 8−3 ＝ 5——“加 3”倒回去就是“减 3”。

同一个写法换个数就是另一条规则：每次不变是 aₙ₊₁ ＝ aₙ；每次翻倍是 aₙ₊₁ ＝ 2aₙ（倍数课）；前两项相加是 aₙ₊₂ ＝ aₙ＋aₙ₊₁（相加递推课）。式子的形状，就是规则的形状。

四、前 n 项的和：两行法是怎样推导的

把前几项加起来，是另一个新的量。从第一项加到第 n 项的总和，记作 Sₙ。注意区分：第 4 项是 a₄ ＝ 11；前 4 项的和是 S₄ ＝ 2＋5＋8＋11 ＝ 26。一个问“最后一格是多少”，一个问“整串合起来是多少”。

S₄ 可以老老实实逐项加。但“一长串相加”值得找一个省力的办法。用最简单的一串 1、2、3、4 看思路（上方动画第 6—8 步同步演示：先亮顺写，再亮倒写，每列的和逐个点亮）：

顺写一行 1、2、3、4；再倒写一行 4、3、2、1。倒写的一行没有添任何新数，只是换了顺序，所以每一行都是同一份 1＋2＋3＋4。竖着看每一列：1＋4、2＋3、3＋2、4＋1，每一列的和都是 5。为什么每列都相同？因为下一列的顺写比上一列多 1、倒写比上一列少 1，一多一少正好抵消。

• 两行合计：4 列 × 每列 5 ＝ 20；
• 两行是同一份，所以一份 ＝ 20 ÷ 2 ＝ 10。

最后必须除以 2，因为原数列被数了两遍——忘了这一步，答案会恰好翻倍。

把 4 换成任意的 n：还是 n 列，每列都是 n＋1，两行合计 n×(n＋1)，一份就是：

$$1+2+\cdots+n = \frac{n\times(n+1)}{2}$$

这个式子的完整用法、首尾配对在等差数列里的推广，配对求和课专门讲。本课要会的是用自己的话说出推导：两份、每列相同、除以 2。

五、猜到以后，怎样说明理由

只给 1、2、3、4，后面是什么？规则 A“每次加 1”得到 5；规则 B“1、2、3、4 循环”得到 1。两个规则代进前四项全都符合。所以只凭四个数，不能说“下一项一定是 5”。

把做一件事分成三步，后面每节课都用它：

1. 发现线索——题目让我看见了什么？（相邻差都是 1）
2. 提出猜想——我猜规律是什么？（可能每次加 1）
3. 说明理由——题目给了什么条件，让这个规律能继续？（文字规则或图形的生成方式）

线索和猜想自己出不了依据；规则才提供“继续算下去”的依据。把前几项代进公式检查有用，但放在最后，用来发现算错或编号错，不能代替理由。说话也照此办理：题目没给规则时说“按这个猜想，下一项是 26”，不说“下一项一定是 26”。

相关真题

这门课的中考真题课里，2023·云南·第 3 题直接考查本课的地基：单项式的系数和符号都由项号决定——项号是奇数还是偶数，符号就怎么变。那道题就是“项号”这一课在真题里的样子，学完后面几课再去做它。递增差课里另有一道 2022·江苏南京·第 16 题，把“整排求和＋组内定位”放进坐标里的斜排，属于更远的迁移。

检查自己是否看懂

自测 1：2、9、2、9、2 一共有几项？第 4 项是多少？最大的项值是多少？

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5 项；第 4 项是 9；最大项值是 9。数重复时按位置数：第 1、3、5 位是 2，第 2、4 位是 9。别因为只有两种数就数丢项。

自测 2：一个数列 a₁ ＝ 7，并且 aₙ₊₁ ＝ aₙ＋2。写出前 5 项和 S₅，并说出 a₅ 与 S₅ 的区别。

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各项是 7、9、11、13、15（递推式一步步走）。S₅ ＝ 7＋9＋11＋13＋15 ＝ 55；a₅ ＝ 15 是第 5 个位置上的一个数，S₅ 是五个数合起来的总量——项值与和是两个问题。

自测 3：同学说：“两行法算出两行合计是 20，所以 1＋2＋3＋4 ＝ 20。”他漏了哪一步？为什么必须有这一步？

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漏了除以 2。两行法把原数列写了两遍（顺写一遍、倒写一遍），20 是两份的合计；每一行才是一份，所以 20÷2 ＝ 10。判断标志：不除以 2，答案恰好是正确值的两倍。

自测 4：同学说：“我找到的公式代入了前三项都对，所以数列一定按它走。”这句话缺了什么？

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缺一般依据。符合前几项的规则可以有无数种（第（3）问就是两种）。代入检查只能排除错误，不能证明唯一；要说“一定”，需要题目给出规则或图形的生成方式。

弄懂这几块地基后，从固定增量课开始进入第一种规律。