递增差与点阵：增加的数量也会变

题目

棋子题（按所提供题图重绘）。 如图 3-3-4，用棋子摆出下列一组图形，如果按照这种规律继续摆下去，那么第 6 个图形里棋子的枚数为 ______。

图 3-3-4。以下两种点阵用来比较：它们各自怎样生长？

正方形点阵。 第 $n$ 幅图有 $n$ 行，每行 $n$ 个点，开头的点数是 1，4，9，16，……。下一幅有多少个点？从第 $n$ 幅变成第 $n+1$ 幅，增加多少个点？

三角点阵。 第 1 幅图只有一行，放 1 个点。以后每次在下方添一行，新行比上一行多 1 个点。因此，第 $n$ 幅有 $n$ 行，从上往下各行依次有 1，2，……，$n$ 个点。开头总点数是 1，3，6，10，……。

下一幅有多少个点？求第 6 幅的点数，并说明增加的数量为什么会变化。这里 $n$ 是正整数。

答案：棋子题第 6 幅有 37 枚；正方形点阵第 5 幅有 25 个点；三角点阵第 6 幅有 21 个点。

核心：先数清每幅有多少，再看增加多少；最后回到图中，说明为什么一直这样增加。

互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。

按步骤看图，自己说出理由

点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。

1．先把每幅图分成横排

这道棋子题问第六个图形有多少枚。先给四幅图标上第一、第二、第三、第四，不要把图号当成棋子数。按横排计算，第一幅两枚，第二幅五枚，第三幅十枚，第四幅十七枚。把图号和总数分成两排，接下来比较总数怎样变。

2．第四幅：逐排数，防止漏数

第 4 幅：1＋2＋3＋5＋3＋2＋1＝17 枚

第四幅比较大，我们从最上面一排往下计算。每排分别是一、二、三、五、三、二、一枚。中间一排是五枚，请停下来亲自核对一遍。把这七排相加，得到十七；上下对称，可以再算两倍的一加二加三，再加中间的五，还是十七。

3．把每次增加的数另写一行

图号、总数和每次增加的数，分开写

图号	1	2	3	4
总数	2	5	10	17
增加	起点	＋3	＋5	＋7

5−3＝2；7−5＝2 → 增加的数每次多 2

现在只比较相邻两幅的总数。五减二得三，十减五得五，十七减十得七。再比较这三个增加的数：五比三多二，七比五也多二。因此我们猜，后面会接着增加九、十一；这一步先得到猜想，还要回到图里找理由。

4．先求第五幅，再求第六幅

图号、总数和每次增加的数，分开写

图号	1	2	3	4	5	6
总数	2	5	10	17	26	37
增加	起点	＋3	＋5	＋7	＋9	＋11

5−3＝2；7−5＝2 → 增加的数每次多 2

第 5 幅：17＋9＝26；第 6 幅：26＋11＝37。接下来回到图中找理由。

如果图形继续按这个摆法长大，第五幅要在十七的基础上加九。十七加九，得到二十六。第六幅还要再加十一，二十六加十一，得到三十七。九和十一是新增加的数量，不是整幅图的总数。现在要解释，为什么这个摆法会一直增加连续的奇数。

5．中间多一枚，先单独放好

第 4 幅：1＋2＋3＋5＋3＋2＋1＝17 枚

观察第四幅各排：一、二、三、五、三、二、一。中间如果是四枚，各排就能从一逐渐加到四，再逐渐减到一；实际中间多了一枚。把中间最右边的一枚移到右边的小框里，其余棋子留着。只是移动位置，没有拿走棋子；图里仍然一共十七枚。

6．把剩下的棋子排成四乘四

第 4 幅：4×4＋1＝17 枚

盯住留下来的十六枚，每一枚都保留。现在把它们转一转、排整齐，成为四排，每排四枚的正方形。四乘四等于十六，再加小框里的一枚，得到十七。以后图形再大一号，排成的方阵也会多一排、多一列；旁边仍然只多这一枚。

7．第几幅，就是几的平方再加一

第 6 幅：6×6＋1＝37 枚

第 n 幅：n×n＋1

第一幅能排成一乘一再加一；第二幅是二乘二再加一；第三幅是三乘三再加一。换成第六幅，方阵是六排、每排六枚，再加旁边一枚，共三十七枚。把任意的图号写成字母，就得到图号的平方加一。公式来自每次都能这样排，不只是前几个数碰巧算对。

8．为什么增加三、五、七

9＋3＋4＝16；新增 7 个

只看方阵，旁边那一枚始终不变。先看三乘三的九个点。右边补一列三个点，再在下面补一整排四个点，正好变成四乘四。新添三加四等于七；下一次右边补四个、下面补五个，就增加九。两部分各比上一次多一个，所以每次增加的数量会多二。

9．换成三角点阵，先重新数排

1＋2＋3＋4＝10

再看另一种摆法：三角点阵。第四幅有四排，各排一、二、三、四个点，一共十个。中间没有多出来的一枚，也不是正方形。先按题目的摆法算出总数，才知道应该用哪条关系。

10．只添第五排，就增加五个

1＋2＋3＋4＋5＝15

第四幅的十个点都保留。现在在下面添第五排，这一排有五个点。原来十个，加上新排的五个，得到十五。再添第六排六个点，就得到二十一；每次增加的数是新排的点数。

11．想算很远一幅，再用两份拼图

实心是一份，空心是另一份；每个点都保留。

两份：4×5＝20；一份：20÷2＝10

如果要算很多排，可以借助一份相同的副本。看四排的三角点阵，把副本转半圈再移过来，两份正好拼成四排、每排五个点的长方形。两份一共二十个点，所以一份是二十除以二，得到十。除以二是因为我们刚才用了两份。

12．换道题，照着这四步做

棋子题：方阵另加 1 枚

第 6 幅：6×6＋1＝37 枚

三角点阵：从 1 加到 6

1＋2＋3＋4＋5＋6＝21

标图号、数总数 → 列增加量 → 回图里找理由 → 写规律、代入核对。

第一步，标图号，按排或按块算出总数。第二步，另写每次增加多少，看增加的数怎样变。第三步，回到图里，指出新添的部分，或者把原图重新排好。第四步，用这个摆法解释规律，再代入题目问的图号。棋子题的关键是方阵旁边另有一枚，三角点阵的关键是每次只添底下一排。图怎样长，决定数怎样变。

第一步：图号和棋子数分开记

题目问“第 6 个图形”，6 是图号。先数已给的四幅图，每幅都按横排数，数过一排就做一个记号。

图号	各排棋子数，从上到下	总数
1	2	2
2	1＋3＋1	5
3	1＋2＋4＋2＋1	10
4	1＋2＋3＋5＋3＋2＋1	17

第 4 幅的中间一排是 5 枚。上下对称，再用 2×(1＋2＋3)＋5＝17 核对一次，避免漏数或重数。

第二步：总数下面，另写“每次增加多少”

看总数 2、5、10、17，一时看不出直接关系。先比较挨着的两幅，看看从前一幅到后一幅多了多少。

从哪幅到哪幅	后面减前面	增加多少
1 → 2	5−2	3
2 → 3	10−5	5
3 → 4	17−10	7

3、5、7 不相同，还可以继续比较它们：5−3＝2，7−5＝2。增加的数，每次多 2。 因此猜想接下来增加 9、11。

先顺着猜想算：第 5 幅是 17＋9＝26；第 6 幅是 26＋11＝37。还需要图形的理由，说明为什么后面也照这样增加。

第三步：为什么想到“平方再加一”

按动画第 5、6 步操作：

1. 把中间一排最右边的一枚放到右侧小框。
2. 剩下的各排是 1、2、3、4、3、2、1。这正是把 4×4 方阵斜着看时的各排数量。
3. 把它们转一转、排整齐，数出 4 行，每行 4 枚，得到 16 枚。
4. 加回小框里的 1 枚，共 16＋1＝17 枚。

换成第 n 幅，同样是从 1 枚逐排增加到 n 枚，再逐排减到 1 枚；中间另多 1 枚。因此能排成 n 行、每行 n 枚，旁边还剩 1 枚。

$$n\times n+1=n^2+1$$

这里 n² 读作“n 的平方”，意思是 n×n。第 6 幅就是 6×6＋1＝37 枚。逐步增加法与重新摆图法算出同一个答案。

第四步：用新增的一行一列，解释奇数增量

旁边那一枚一直保留。只看方阵怎样从 3×3 变成 4×4：

1. 右边先补一列，和原图一样高，有 3 枚。
2. 下面再补一整行，连同右下角，有 4 枚。
3. 两部分不重叠，新添 3＋4＝7 枚。

下一次从 4×4 变成 5×5，右列 4 枚，下行 5 枚，新添 9 枚。再下一次是 5＋6＝11 枚。

右列和下行都比上一次多 1 枚，合起来就多 2 枚。这是“增加的数每次多 2”的图形理由。

对任意 n，从 n×n 到 (n＋1)×(n＋1)，右列 n 枚，下行 n＋1 枚：

$$n+(n+1)=2n+1$$

正方形点阵没有旁边那枚，数量是 n²；这道棋子题始终多 1 枚，数量是 n²＋1。两者每次增加的数量相同。

换成三角点阵，先重新看“新添哪里”

三角点阵第 4 幅的各排是 1、2、3、4，共 10 个点。下一幅只在下面添第 5 排，这一排有 5 个点，所以第 5 幅有 10＋5＝15 个。再添第 6 排的 6 个点，第 6 幅有 15＋6＝21 个。

这里每次只添一排。增加的数是 2、3、4、5、6，依次多 1。棋子题的增加量是 3、5、7、9、11，依次多 2。两种摆法要分别数。

要求很多排时，再看动画第 11 步：复制一份，转半圈拼成长方形。以 4 排为例，两份拼成 4×5＝20 个点，一份是 20÷2＝10 个。先弄懂逐排相加，再到配对求和课学习怎样直接求和。

中考迁移：2022·江苏南京·第 16 题

这题把三角点阵放进了坐标系。若还没学坐标，先记住：括号里第一个数表示向右几格，第二个数表示向上几格；(0，0) 是起点。

如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：(0，0)，(1，0)，(0，1)，(2，0)，(1，1)，(0，2)，(3，0)，(2，1)，(1，2)，(0，3)，(4，0)，(3，1)，(2，2)，(1，3)，…按这个规律，则 (6，7) 是第 ______ 个点。

展开答案与分步解析

答案：99。

1. 先看同一斜排有什么相同。(3，0)、(2，1)、(1，2)、(0，3) 的两个坐标之和都是 3。这排有 4 个点；前面的排依次有 1、2、3 个点。
2. 确定目标在哪排。6＋7＝13，所以目标在坐标之和为 13 的斜排。这排从 (13，0) 走到 (0，13)，共有 14 个点。
3. 先数整排，再数本排。目标这一排之前有 13 排，共 1＋2＋…＋13＝13×14÷2＝91 个点。这个和就是三角点阵的总数。
4. 从本排起点数到目标。从 (13，0) 开始，纵坐标依次是 0、1、2、…、7；数到 7 要算上起点的 0，所以 (6，7) 是本排第 8 个点。总序号是 91＋8＝99。

核对：本排第 1 个点是 (13，0)，序号 92；走 7 次到 (6，7)，序号 92＋7＝99。这里用“三角点阵的整排总数＋本排位置”，不能直接套棋子题的 n²＋1。

出处：无忧考网收录的 2022 年江苏南京中考数学试卷图版，预览第 2 页第 16 题。题干、坐标顺序和原图已核对；答案另与中考网所载答案交叉核对。

自测：能指出图里的理由吗

自测 1：第 8 幅棋子题

按原题摆法，第 8 幅有多少枚？从第 7 幅到第 8 幅，新增的棋子能分成哪两部分？

展开核对

65 枚；新增 15 枚。第 8 幅重排成 8×8＋1＝65。第 7 幅是 7×7＋1＝50；右列补 7 枚，下行补 8 枚，共 15 枚。50＋15＝65。

自测 2：只算出差，就能保证后面吗

只给出 2、5、10、17，算出相邻差是 3、5、7。还没有给后面的生成规则时，能保证下一项一定是 26 吗？这道棋子题还提供了哪条理由？

展开核对

只凭四个数，不能保证。它们帮助我们猜想。棋子题还给出了继续摆图的方式：每次排成大一号的方阵，旁边多 1 枚。因此后面也会按连续奇数增加。

自测 3：同样到第 6 幅，为什么答案不同

棋子题第 6 幅有 37 枚，三角点阵第 6 幅有 21 个点。请分别指出从第 5 幅到第 6 幅新添的部分，不只写答案。

展开核对

棋子题添 11 枚；三角点阵添 6 个点。棋子题的方阵右列补 5 枚，下行补 6 枚，旁边的 1 枚保留。三角点阵只添有 6 个点的第 6 排。

下次遇到图形规律题，先做四件事：标图号并数总数，另列增加量，回图里指出理由，最后写规律并代入核对。