数表与日历：位置本身就是规律

题目

下面的日历按题目条件绘制：这个月共有 31 天，每周从周一开始排，1 日是星期四；日期只写在它自己的格里。

横向。 日历上同一行里相邻的两个日期，右边的比左边的大几？设某一行的中间一个数是 $a$，写出它同一行左边和右边的数。

竖向。 同一列里上下相邻的两个日期，下面的比上面的大几？为什么和一周的天数有关？

十字框。 用十字形框框出 5 个数：中间一个、上面一个、下面一个、左边一个、右边一个。

1. 若中间的数是 15，求框住的 5 个数之和。
2. 若框住的 5 个数之和是 60，求中间的数。
3. 框住的 5 个数之和可能是 35 吗？请说明理由。

斜向。 不框，直接看斜对角：中间是 15 时，它左上方和右下方的两个数分别是多少？这两个数的和与 15 有什么关系？

答案：同一行相邻差 1（左边 a−1、右边 a＋1）；同一列上下差 7。中间 15 时十字框和为 75；和 60 时中间是 12；和 35 不可能。左上 7、右下 23，和 30＝2×15。

核心：数表里每个数的位置由行和列决定，规律不是猜出来的，而是“行＋1、列＋7”推出来的。

播放时先盯同一行的相邻两格，再盯同一列的上下两格，最后看十字框里谁和谁相互抵消。

互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。

按步骤看图，自己说出理由

点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。

1．同一行，右边的数大一

这张日历每周从周一开始；1 日是周四。换一个月，同一行、同一列的相差数不变。

同一行：右边的数 = 左边的数 ＋1

这是某个三十一天的月，每周从周一开始，一号是星期四。先看同一行：十一号右边是十二号，十二号右边是十三号，右边的数总比左边的大一。因为日历的一行就是连续的日期，同一行每往右一格，就过了一天。所以同一行里，相邻两个数相差一。

2．同一列，下面的数大七

这张日历每周从周一开始；1 日是周四。换一个月，同一行、同一列的相差数不变。

同一列：下面的数 = 上面的数 ＋7（正好过一周）

再看同一列：八号的正下方是十五号，十五号下面是二十二号。下面的数，总比上面的大七。因为从一行落到下一行，正好过了七天，也就是一周。无论哪个月、一号是星期几，日历都排成七列，同一列上下两个数都相差七。所以跨行找日期，先想加七。

3．十字框的和，是中心的五倍

这张日历每周从周一开始；1 日是周四。换一个月，同一行、同一列的相差数不变。

8＋14＋16＋22＋15 ＝ 75 ＝ 5 × 15

把十五号圈在中间，框出它的上下左右：上面八号，左边十四号，右边十六号，下面二十二号。这五个数相加：八加二十二是三十，十四加十六也是三十，再加十五，共七十五，正好是十五的五倍。原因就在刚才两条规律：上下差七，一加一减相互抵消；左右差一，也相互抵消。所以十字框五个数的和，永远是中间数的五倍。

4．斜对角抵消，月边要当心

这张日历每周从周一开始；1 日是周四。换一个月，同一行、同一列的相差数不变。

7＋23 ＝ 30 ＝ 2 × 15

斜着看也一样。十五号的左上方是七号，右下方是二十三号，两个数相加是三十，是十五的两倍。因为一个减八，一个加八，又抵消了。反过来用：知道斜对角两数的和，除以二就找回中间数。但要注意月份的边：一号没有上邻，最后一天没有下邻，边上的日子框不完整，就不能用这些和的规律。

数表是你最熟悉的找规律场景：家里的挂历、手机里的日历就是一张数表。这一课只用加减法，但要把“位置”当成已知条件来用。

同一行：每往右一格，多一天

11 号右边是 12 号，12 号右边是 13 号。日历的一行就是接着排的日期，所以同一行相邻两数相差 1。设某一格是 $a$，它左边的数是 $a-1$，右边的数是 $a+1$。

同一列：每往下一格，多一周

8 号正下方是 15 号，15 号下面是 22 号。从一行落到下一行，日期正好多了 7 天——一周。所以同一列上下两数相差 7：上面是 $a-7$，下面是 $a+7$。

这个 7 来自日历的结构（每周 7 天），不是题目随口给的数。换成课程表（每天 8 节）竖着看，相邻两格就相差 8——先数一行有几个格子，就知道上下差几。

十字框：加减相互抵消

中间是 15 时，框住 8、14、16、22 和 15：

$$(15-7)+(15+7)+(15-1)+(15+1)+15=5\times15=75$$

上下差 7，一加一减抵消；左右差 1，也抵消。剩下一份 15，乘上 5 个格子。所以十字框五个数的和，永远是中间数的 5 倍。

反过来用：和是 60 时，中间数是 60÷5＝12。检查它的十字（5、11、13、19）都在月内，成立。

和是 35 行不行？35÷5＝7，中间数得是 7；但 7 号在第 2 行，它上面没有日期（这个月 1 日从周四开始），十字框不完整，规律的前提被破坏，所以不可能。

斜对角：差 8 或差 6，照样抵消

15 号左上方是 7 号（上 1 行、左 1 列：−7−1＝−8），右下方是 23 号（＋8）：

$$(15-8)+(15+8)=2\times15=30$$

两个方向的斜线（差 8 和差 6）都满足“和＝中间数×2”。区分它们的方法：朝右下走的是＋8，朝左下走的是＋6。

自测：先写位置关系，再算数

自测 1：换个中间数

同一张日历（31 天、1 日周四）。十字框中间是 20 时，框住哪五个数？和是多少？

核对第 1 题

13、19、20、21、27；和是 100。20−7＝13，20−1＝19，20＋1＝21，20＋7＝27。

和是 5×20＝100。20 的上下邻 13 和 27 都在月内，框完整，规律成立。

自测 2：给和找中心，并检查边界

十字框五个数的和是 80，中间数是多少？中间数可能是 4 吗？为什么？

核对第 2 题

中间数是 16（80÷5）；4 不行。4 号在第一行，没有上邻，十字不完整。

“和是 5 的倍数”只是必要条件；还要检查中心行不在第一行、最后两格不出月。

自测 3：换了数表，先数每行几个

班级座位表每行 8 个座位，按 1、2、3……连续编号。13 号正后方是几号？它与 13 号左右两边的号数相差多少？

核对第 3 题

正后方是 21 号；13 号左右两边相差 2。每行 8 个，上下相差 8；同一行相邻相差 1，所以左边 12、右边 14，相差 2。

方法与日历完全相同：先数一行几格，上下差就是几。不要把日历的 7 原样搬过来。

下次见数表，先问三个问题：一行几格？上下差几？框住的格子都在表内吗？回答了这三个，规律就已经在你手里。