周期循环：余数为 0，落在一组的末尾

题目

一串图形从第 1 个开始，按“圆、三角、方”这一整组不断重复：

圆，三角，方，圆，三角，方，……

第 20 个是什么图形？第 21 个呢？请说明怎样用项号找到它在一组中的位置；除以 3 余数为 0 时，应该落在哪个位置？

答案：第 20 个是三角，第 21 个是方。除以 3 余数为 0，说明正好走到一组的第 3 个。

核心：先拿走完整的组，再看剩下几步。每一组内部的顺序都一样。

播放时先圈“圆、三角、方”这一整组，再关注刚好走完一组的那个位置。余数 0 不是“没有图形”。

互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。

按步骤看图，自己说出理由

点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。

1．先圈出完整重复的一组

1 ÷ 3 = 0 余 1；组内第 1 格 · 圆

看圆、三角、正方形，然后又是圆、三角、正方形。我们约定这三个图形不断重复，而且从圆开始数。每三个是一组，顺序也要相同，不能只因为看见相同图形就随便分组。先把完整重复的一组圈出来。

2．走过整组，回到同一个位置

12 ÷ 3 = 4 余 0；组内第 3 格 · 正方形

看指示圈从第一格向后移动。每经过三格，就又回到同一种图形。所以找很后面的某一项，不必一格一格画，只要知道它在一组里的第几格。前面完整的组，只负责把位置推远，不改变组内的顺序。

3．余数零，落在组末

12 ÷ 3 = 4 余 0；组内第 3 格 · 正方形

找第十二个，用十二除以三，正好四组，余数是零。第十二个已经走完第四组，所以落在第三格，是正方形。余数零，不是没有图形，也不是第一格。余数一找第一格，余数二找第二格，余数零找最后一格。

4．起点也是条件

14 ÷ 3 = 4 余 2；组内第 2 格 · 三角形

换成第十四个，十四除以三，余二，所以是三角形。这个判断还用到一个条件，就是第一格是圆。如果题目改成从三角形开始，组内的三个位置也跟着改变。只记住除以三还不够，要把周期、顺序和起点一起留下来。

只需要会有余数的整数除法。项号就是从第 1 个起数，它在整串图形中的位置。

生活里的它：星期几

星期就是周期 7 的循环：周一、周二、……、周日，然后又是周一。如果 10 月 17 日是周六，14 天后（10 月 31 日）是星期几？14÷7＝2 整除、余 0——正好走完两整周，回到同一位置：还是周六。这与“余 0 落在组末”是同一件事：**最后一格走完，就回到本组与下组交界的那一天。**值日表每两周轮一圈、红绿灯循环，也都是先圈出一整组，再做除法。

先找“完整的一轮”，不是只数有几种图形

原题的最短重复组是“圆、三角、方”，共有 3 个位置。我们说周期是 3：每隔 3 个位置，图形就回到同一类。

这里三种图形恰好各出现一次。但“种类有几种”不总等于“周期有多长”。例如“圆、圆、方”仍然是 3 个位置一组，虽然只有两种图形。

周期要看整组怎样重复。只看到某个图形再次出现，还要检查它后面的顺序能否一起对上。

第 20 个：拿走 6 组，还多 2 个

$$20=3\times6+2$$

前 18 个正好是 6 组。剩下的第 19、20 个，是下一组的第 1、2 个。组内第 2 个是三角，所以第 20 个是三角。

除法的余数告诉我们：拿走整组以后，还向下一组走了几个位置。

第 21 个：正好走完第 7 组

$$21=3\times7+0$$

21 个恰好组成 7 组。第 21 个是第 7 组最后一个，也就是方。它不是下一组的第 1 个；下一组要从第 22 个才开始。

因此，对任意正整数项号 n，除以 3 后：余 1 选圆，余 2 选三角，余 0 选方。这条判断来自每组相同的顺序，所以不论数到第几组都适用。

换成星期、颜色或动作，也先圈组

颜色轮换、按顺序做动作，都可能有周期。先确定从哪一个开始，再确定完整一组有几个位置，最后才做除法。

题目只有开头几个图形、没有说明后面怎样重复时，可以提出一个猜想；要把“按这一整组继续重复”写清楚，才能据此计算远处的位置。

自测：每次先写出完整重复组

自测 1：更远的位置

仍按原题的“圆、三角、方”循环。第 100 个是什么图形？说清余数表示什么。

核对第 1 题

圆。100＝3×33＋1。拿走 33 个完整组，还剩下一组的第 1 个，所以是圆。

线索是整组重复，而不是数量固定增加，因此选除以周期找位置。

自测 2：两种颜色，不一定周期是 2

从第 1 颗起，珠子按“红、蓝、蓝”这一整组重复。周期是几？第 24 颗是什么颜色？

核对第 2 题

周期是 3；第 24 颗是蓝色。最短重复组有 3 颗，不是按颜色种类数来算。

24＝3×8，正好落在一组第 3 颗。第 3 颗是蓝色，所以第 24 颗也是蓝色。

自测 3：起点改了，答案会照搬吗

这次从第 1 个开始，按“三角、方、圆”不断重复。第 20 个是什么？为什么不能照抄原题第 20 个的答案？

核对第 3 题

方。20 除以 3 仍余 2，但现在组内第 2 个是方。

计算余数的方法没有变，组内顺序变了。答案要按这道题的起点和顺序重新对应。

下次先圈最短的完整重复组，再用一个整除位置检查：余数 0 是否落在组末？