倍数与递推：翻倍，还是翻倍后再加一

题目

比较两串数：

• A：从 3 开始，以后每一项都等于前一项的 2 倍，开头是 3，6，12，24，……。
• B：从 1 开始，以后每一项都等于前一项乘 2 再加 1，开头是 1，3，7，15，……。

分别求它们的第 5 项和第 6 项。B 能直接说成“每次翻倍”吗？把 B 的每一项先加 1，得到的新一串数怎样变化？

如果用乘方表示 A 的第 $n$ 项，式子中的“乘 2 的次数”该怎样确定？这里 $n$ 是正整数。

答案：A 的第 5、6 项是 48、96；B 的第 5、6 项是 31、63。B 每次是“乘 2 再加 1”，不只是翻倍。

核心：先比较相邻两项的倍数；如果翻倍后还差一点，就把这“一点”也写进规则。

播放时比较两串数的变化。看 B 每一项加 1 后，会怎样变成容易辨认的新一串数。

互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。

按步骤看图，自己说出理由

点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。

1．加多少不固定，乘几可能固定

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	3	6	12	24

第 1 项：3；从第 1 项到这里，乘了 0 次 2

实心点是原来的一份，空心点是新复制的一份。副本从重合的位置展开，点数没有减少。

看三、六、十二、二十四。相邻两项相减，不是同一个结果。但后面一项总是前面一项的两倍。本课约定每次都乘二，我们用复制一份的方法，看清两倍是什么意思。

2．每次复制整份

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	3	6	12	24

第 4 项：24；从第 1 项到这里，乘了 3 次 2

实心点是原来的一份，空心点是新复制的一份。副本从重合的位置展开，点数没有减少。

从三个点开始。把整份复制一次，变成六个。再把这六个复制一次，变成十二个。再把十二个复制一次，变成二十四个。每次复制的是当前的整份，不是永远只添最初的三个。走到第四项，恰好乘了三次二，不是四次。

3．别把乘二加一，看成只乘二

每次 ×2，再 +1

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	1	3	7	15

1 → ×2+1 → 3 → ×2+1 → 7 → ×2+1 → 15

每项临时 +1 ↓ 再看变化

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	2	4	8	16

临时变成每次 ×2；取回原项时，要减掉临时加上的 1。

换一列数：一、三、七、十五。每次先乘二，再加一，和只乘二不是同一个规则。看箭头旁边，多了加一这个动作。把每项临时加一，就变成二、四、八、十六，恰好每次乘二。增加的一只是帮助比较，回到原来的数时，还要减掉。

4．用完整动作检验

两条规则，分别检查

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项	第 5 项
数值	3	6	12	24	48

上面：只乘 2。

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项	第 5 项
数值	1	3	7	15	31

下面：先乘 2，再加 1。

对于三、六、十二、二十四，下一项是四十八。对于一、三、七、十五，下一项是十五乘二再加一，得到三十一。看起来都增长很快，但动作不一样。发现猜想以后，要把每一步完整地代进去检查，不能只看最后一对数。

只需会四则运算。项号从 1 开始。本课会解释乘方记号，不要求已经学过指数运算法则。

生活里的它：折纸和拉面

一张纸对折 1 次有 2 层，对折 2 次有 4 层，3 次有 8 层……对折 10 次就是 2¹⁰＝1024 层，比很多书都厚——这就是“每次乘 2”。拉面师傅每对折一次，面条根数也翻倍。它们与 A 串数（3、6、12、24）的差别只是起点不同：翻倍的动作一样，起点决定从哪里开始翻。而 B 串数（1、3、7、15）像“翻倍后还添一层”的折纸——每折一次再贴一张，所以不能只按翻倍算。

A：每一份都变成两份

3×2＝6，6×2＝12，12×2＝24。题目规定以后继续每次乘 2，所以接下来是 24×2＝48，再到 48×2＝96。

把“根据前一项算出后一项”的规则，叫作递推。知道起点 3，再知道“每次乘 2”，就能一步一步算出 A 的各项。

要求很远一项，先数翻倍次数

第 1 项还没有翻倍。第 2 项翻了 1 次，第 3 项翻了 2 次，所以第 n 项翻了 n−1 次。

连乘相同的数，可以用乘方记号简写。2⁴ 表示 4 个 2 相乘：

$$2^4=2\times2\times2\times2=16$$

所以 A 的第 n 项可以写成：

$$3\times2^{n-1}$$

这里 n−1 表示乘 2 的次数，不是把 2 乘上 n−1。第 5 项就是 3×2⁴＝48。

第 1 项没有发生翻倍，仍保留原来的 3。为了让同一个式子也能表示起点，记 2⁰＝1，所以 n＝1 时是 3×1＝3。本课的项号都是正整数，不会用到负指数。

B：每次翻倍，之后还要加 1

检查相邻两项：1×2＋1＝3，3×2＋1＝7，7×2＋1＝15。继续用题目给的同一规则：

$$15\times2+1=31,\qquad31\times2+1=63$$

B 的相邻两项没有固定的 2 倍关系。比如 3 不是 1 的两倍，7 也不是 3 的两倍。漏掉“再加 1”，会得到另一串数。

为什么把 B 的每一项加 1

B 的数是 1、3、7、15。每项加 1，得到 2、4、8、16，恰好都能翻倍。

这不是随意试出来就结束。因为“后一项＝前一项×2＋1”，所以：

$$\text{后一项}+1=2\times\text{前一项}+2=2\times(\text{前一项}+1)$$

原来前后两项都补上 1，就变成准确的 2 倍关系。新一串数从 2 开始翻倍，第 n 项是 2ⁿ；把补上的 1 去掉，B 的第 n 项就是 2ⁿ−1。

即使暂时不写一般式，也能用“乘 2 再加 1”准确地继续往后算。先说全规则，再选择是否需要简写。

自测：先判断该怎样从前项走到后项

自测 1：起点变了，翻倍次数变吗

从 5 开始，每次乘 2：5，10，20，40，……。第 6 项是多少？第 n 项怎样表示？

核对第 1 题

第 6 项是 160；第 n 项是 5×2ⁿ⁻¹。从第 1 项到第 6 项翻倍 5 次，所以 5×32＝160。

相邻的 2 倍关系保留了，起点换成 5。一般式里的翻倍次数仍是 n−1。

自测 2：同样是递推，别漏了末尾一步

从 2 开始，每次“乘 2 再加 1”，开头是 2，5，11，23。下一项是多少？把每项加 1 后，得到哪一串数？

核对第 2 题

下一项是 47；每项加 1 后是 3、6、12、24、48，……。23×2＋1＝47，不能只算成 46。

前后两项都补 1 后，仍有“后一项加 1＝2×(前一项加 1)”。新一串的起点是 3，不是本课例题里的 2。

自测 3：差看起来有规律，还一定是翻倍吗

一串数从 3 开始，以后依次加 3、6、9、12，……，增加的数每次多 3。开头是 3，6，12，21。能说它一直翻倍吗？下一项是多少？

核对第 3 题

不是一直翻倍；下一项是 33。12×2＝24，不是已给出的 21，翻倍规则已经被反例否定。

按题目规定，下一次应加 12，所以 21＋12＝33。前两步像翻倍，不等于后面每步也翻倍。

下次先问：前后是固定倍数吗？若乘完还要加或减，就把这一步也写进去，并检查运算顺序。