相加递推：前两项的和，就是下一项
从 1、1、2、3、5、8 认识相加递推，用兔子月份表和上楼梯走法讲清“下一项由前两项决定”，并说明它本身就是完整的规则。
题目
数的变化。 一串数从 1、1 开始，从第 3 项起，每一项都等于它前面两项的和，开头是 1，1，2，3，5，8，13，……。求第 8 项和第 10 项。不用逐项相加，说明你怎样只靠前两项得到答案。
生活情境。 一对小兔出生后记为第 1 个月；出生后 1 个月长大，从出生后 2 个月起，每个月初生一对小兔，兔子不离开也不减少。按月统计兔子的对数，第 1、2 个月各有几对？第 7 个月有几对？说明每月的对数和前两个月的关系。
上楼梯。 上楼梯时，每步可以跨 1 级，也可以跨 2 级。要到第 4 级，一共有多少种不同的走法？列举每种走法，再看看走法数和前面哪串数相同。
答案：第 8 项是 21，第 10 项是 55。第 7 个月有 13 对兔子；到第 4 级楼梯有 5 种走法。
核心：差不是固定的，倍数也不是固定的时，检查下一项是否由前两项相加得到。规则写全了，逐项算下去就是完整的答案。
播放时先看相邻的差和倍数怎样“都不固定”，再看最长的彩条怎样由前两条接成。
互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。
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按步骤看图，自己说出理由
点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。
1．差和倍数都不固定，试相加
| 项号 | 第 1 项 | 第 2 项 | 第 3 项 | 第 4 项 | 第 5 项 | 第 6 项 | 第 7 项 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 数值 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 |
| 相邻增加 | 起点 | +0 | +1 | +1 | +2 | +3 | +5 |
相邻的差：0、1、1、2、3、5——差还是这串数自己
看一、一、二、三、五、八。相邻两项相减，得到零、一、一、二、三、五，不是固定增量；后一项除以前一项，也不是固定的倍数。把相邻两项加起来试试：一加一是二，一加二是三，二加三是五，三加五是八。原来从第三项起，每一项都等于它前面两项的和。本课约定，这串数就一直按这个规则继续。
2．前两项的条，接成下一项
3＋5＝8
实心条是前两项里的第 n−2 项，描边条是第 n−1 项；两条首尾相接，正好是第 n 项。
每条彩条的长度就是一项的数值。看最下面这条长度为八的条，它正分成两段接起来：实心的一段长三，是第四项；描边的一段长五，是第五项。两段首尾相接，总长八，正是第六项。所以求下一项，就是把前两项的条接起来。
3．兔子的月份表
| 月份 | 第 1 月 | 第 2 月 | 第 3 月 | 第 4 月 | 第 5 月 | 第 6 月 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 小兔对 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 |
| 大兔对 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 |
| 合计对 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 |
大兔对＝上个月的全部（都长大了）；小兔对＝上个月的大兔（各生一对）。
合计：1、1、2、3、5、8——每两个月后，前两个合计相加
这个规则有个出名的故事：一对小兔出生后，下一个月长大，再下一个月起每月生一对小兔。看表格：第二个月只有一对大兔；第三个月它们生下一对小兔，合计两对；第四个月大兔两对、小兔一对，合计三对。每个月的大兔，是上个月的全部兔子；每个月的小兔，是上个月的大兔生下的。所以合计总是前两个月的合计相加：一、一、二、三、五、八。
4．上楼梯的走法，也是相加
| 项号 | 第 1 项 | 第 2 项 | 第 3 项 | 第 4 项 | 第 5 项 |
|---|---|---|---|---|---|
| 数值 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 |
上 1 级或 2 级：到第 5 级共 8 种走法
最后一步若跨 1 级，前面是到第 4 级的 5 种；若跨 2 级，前面是到第 3 级的 3 种。5＋3＝8。
换一个贴近生活的例子：上楼梯，每次可以跨一级，也可以跨两级。到第一级有一种走法；到第二级有两种：一步跨两级，或者两级各跨一次。到第三级，要么从第二级再跨一级，要么从第一级直接跨两级，共三种。到任何一级的走法，都等于到前两级走法数相加，又是一、二、三、五、八。相加递推不一定有简短的通项式，它本身就是完整的规则。
这一课接在固定增量和倍数递推之后：前两课的检查都是“只看相邻两项”，这一课把目光放到前两项之间的关系。
生活里它就在身边
- 兔子对数：一对小兔出生 1 个月后长大，再过 1 个月起每月生一对。每月的对数正是 1、1、2、3、5、8，……这串数有个名字，叫斐波那契数列。
- 上楼梯：每步跨 1 级或 2 级，到每级的走法数也是这串数（从 1、2 开始）。
- 树枝分叉、向日葵的种子圈数，也常按同样的方式增多。它们共同的样子是：新的一步，由前两步相加而来。
从 1、1、2、3、5、8 读出规则
逐项相减：0、1、1、2、3、5——不是固定增量。后项除以前项：1、2、1.5、1.67、1.6——也不是固定倍数。
再试相加：
从第 3 项起，每一项都等于前面两项之和。第 7 项是 13，所以第 8 项是 8＋13＝21；继续 13＋21＝34、21＋34＝55，第 10 项是 55。题目只问远处的某一项时，从最近的已知两项接着算，比从头逐项算更快。
彩条演示里，长度为 8 的条恰好由长度 3 和长度 5 的两段接成：下一项的条，就是前两项的条首尾相接。
兔子月份表：规则为什么自然
| 月份 | 小兔对 | 大兔对 | 合计对 |
|---|---|---|---|
| 第 1 月 | 1 | 0 | 1 |
| 第 2 月 | 0 | 1 | 1 |
| 第 3 月 | 1 | 1 | 2 |
| 第 4 月 | 1 | 2 | 3 |
| 第 5 月 | 2 | 3 | 5 |
| 第 6 月 | 3 | 5 | 8 |
每月的大兔 = 上个月的全部（都长大了）；每月的小兔 = 上个月的大兔（各生一对）。两行一加，就是合计 = 前两个月合计之和。照这个表走下去：第 7 月的大兔是第 6 月合计 8 对，小兔是第 6 月大兔 5 对，合计 13 对。
这张表不是死记的答案，它逐月解释了每一项怎样由前两项产生。数字算错时，回到表里查“大兔、小兔各自来自哪一行”。
上楼梯：同一串数换了件衣服
到第 1 级 1 种；到第 2 级 2 种（跨 2 或 1＋1）。到第 3 级：最后一步若从第 2 级跨来（2 种），若从第 1 级直接跨 2 级（1 种），共 3 种。到第 4 级＝到第 3 级的走法＋到第 2 级的走法＝3＋2＝5 种：2＋2、2＋1＋1、1＋2＋1、1＋1＋2、1＋1＋1＋1。
关键一步是按最后一步落在哪分类：最后一步跨 1 级，前面是到前一级的走法；跨 2 级，前面是到前两级的走法。两类不重不漏，所以相加。
自测：先说清“由前两项怎样得到”
自测 1：换了起点，规则照用
从 2、1 开始，从第 3 项起每项等于前两项之和。写出前 6 项，并求第 8 项。
核对第 1 题
2，1，3，4，7，11；第 8 项是 29。2＋1＝3，1＋3＝4，3＋4＝7，4＋7＝11。
继续 7＋11＝18，11＋18＝29。起点不同，得到的数不同；“前两项相加”的规则不变。
自测 2：别把“长得像翻倍”当成翻倍
一串数 1、2、3、5、8 与另一串 1、2、4、8、16，都是“越来越快”。分别说明各自的规则，并写出各自的下一项。
核对第 2 题
前者下一项是 13（前两项相加）；后者下一项是 32（每次乘 2）。
判断依据是题目给的生成方式，不是长什么样：相加递推看前两项，倍数递推看相邻两项的倍数。
自测 3：兔子表往后再走一步
按原题规则，第 8 个月、第 9 个月各有几对兔子？第 8 个月的大兔、小兔各是几对？
核对第 3 题
第 8 月 21 对（大兔 13、小兔 8）；第 9 月 34 对。第 8 月大兔＝第 7 月合计 13，小兔＝第 7 月大兔 8。
第 9 月合计＝13＋21＝34。表里每一行都由前两行决定，这就是相加递推的样子。
下次遇到“差不固定、倍数也不固定”的一串数，先把前两项相加试一遍；规则成立，就顺着规则逐项走下去。