连续减半与求和：先看最后剩下多少

第 8 题

如图 3-3-8，将一个边长为 1 的正方形纸片分割成七部分，部分①的面积是大正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推。

（1）求阴影部分的面积是多少；

（2）计算：$\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots+\dfrac1{2^8}$。

答案：（1）阴影面积是 1/64；（2）和是 255/256。

核心：每次只取走剩余的一半。取走的各块加起来，等于整个正方形减去最后余块。

演示把取走的位置涂色，斜纹表示剩余。先看每一刀分的是哪一块，再比较最后两块。

正在准备分割演示；下方图文可先阅读。

本课用分数乘法和面积加减。$2^n$ 表示 n 个 2 相乘；分母里的 n 记录减半次数。可以先回看倍数与递推。

1. 每次分的是“剩下的”，不是整张纸

边长是 1，整个正方形的面积是 1×1＝1。

第一次从整张纸取走一半，得到①。取走 1/2，剩下的也是 1/2。

第二次把剩下的 1/2 再平分。取走的一块是②，面积是 1/2×1/2＝1/4。留下的一块也是 1/4。

第三次再把这块 1/4 平分。③的面积是 1/8，留下的也是 1/8。

取走次数	本次取走	最后剩余	已取走的面积和
1 次	①：1/2	1/2	1−1/2＝1/2
2 次	②：1/4	1/4	1−1/4＝3/4
3 次	③：1/8	1/8	1−1/8＝7/8
4 次	④：1/16	1/16	1−1/16＝15/16
5 次	⑤：1/32	1/32	1−1/32＝31/32
6 次	⑥：1/64	⑦：1/64	1−1/64＝63/64

每次把一块平分，取走一半，留下一半。因此本次取走的块，总与这次留下的余块一样大。

2. 图上有七块，为什么只减半六次

取出①以后，有“①＋余块”，共 2 块。

再把余块分成②和新余块，共 3 块。每分一次，总块数只增加 1。

所以取走 6 次，才得到“①至⑥＋最后余块⑦”，共 7 块。

最后一次把 1/32 平分，分出的就是⑥和⑦。它们都是：

$$\frac1{32}\div2=\frac1{64}$$

3. 为什么一长串加法能变成一道减法

先看三项：1/2、1/4、1/8 是前三次取走的面积。它们旁边还剩 1/8。

整张纸没有重叠，也没有空隙，所以：

$$\left(\frac12+\frac14+\frac18\right)+\frac18=1$$

把最后余块减掉，就得到前三项的和：

$$\frac12+\frac14+\frac18=1-\frac18=\frac78$$

这里“再加一个 1/8”是在补余块。它与最后取走的 1/8 相等，但它们是不同的两块。

生活中也一样：每次倒出剩余水的一半，想知道一共倒出了多少，可以用“原来的水量−最后还剩的水量”。

4. 换成任意 n 次，理由仍然成立

开始有 1。每次剩余都乘 1/2，经过 n 次就连乘 n 个 1/2：

$$\text{最后剩余}=\underbrace{\frac12\times\frac12\times\cdots\times\frac12}_{n\text{ 个}}=\frac1{2^n}$$

取走的各块与余块仍恰好拼成整体。因此，对任意正整数 n：

$$\boxed{\frac12+\frac14+\frac18+\cdots+\frac1{2^n}=1-\frac1{2^n}}$$

这不只是用前三行猜出的。每一次都把余块平分，而且“取走＋剩余＝整体”始终成立，所以无论取多少次都能这样算。

如果整个图形的面积为 A，同样得到：

$$\frac A2+\frac A4+\cdots+\frac A{2^n}=A\left(1-\frac1{2^n}\right)$$

纸片换成长方形、水量换成一瓶饮料，都不影响这条关系；要保持的是“每次取剩余的一半”。

5. 回到第二问：数清楚是八项

分母从 $2^1$ 到 $2^8$，所以是 8 项，对应取走 8 次。

$$\frac12+\frac14+\frac18+\cdots+\frac1{2^8}=1-\frac1{2^8}=1-\frac1{256}=\boxed{\frac{255}{256}}$$

再用加法核对：255/256＋1/256＝1。答案比 1 小，恰好缺最后余块。

6. 改成每次取三分之一，哪里会变

在“自己动手探索”中选择每次取 1/3。取走一份，剩下两份，所以每次留下的是原来剩余的 2/3。

前三次取走：1/3、2/9、4/27。三次后剩余：8/27。

$$\frac13+\frac29+\frac4{27}=1-\frac8{27}=\frac{19}{27}$$

“整体减去剩余”仍然成立。但最后取走的 4/27，与剩下的 8/27 已不相等。

若每次留下原来剩余的 r 倍，经过 n 次，剩余为 $Ar^n$，取走的总量为 $A(1-r^n)$。这里 $0<r<1$，n 是取走次数。

先说清楚每次留下多少，再决定式子里应连乘哪个数。

自测：先说明理由，再展开答案

1. 只把块数改成十块

仍按原图的办法连续减半，最后共分成 10 块。最后余块占整个正方形的几分之几？

核对块数与次数

1/512。10 块是取走 9 块再加 1 块余块，所以减半 9 次，剩余是 1/2⁹。

2. 这串数少了开头的一项

计算 $\frac14+\frac18+\cdots+\frac1{64}$。可以直接用 1−1/64 吗？

核对缺少的那块

31/64。1−1/64 包含第一块 1/2；这题从 1/4 开始，还要减掉 1/2。

$$1-\frac1{64}-\frac12=\frac{31}{64}$$

也可以把最初剩下的半张纸看成整体，直接算 1/2−1/64。

3. 每次取剩余的三分之一

面积为 1 的纸片，取走 3 次。小明说：“最后取走 4/27，所以总和是 1−4/27。”应改哪一步？

核对应该减去什么

应该减去余块 8/27，总和是 19/27。每次取一份、留两份，最后余块是最后取走块的 2 倍。

总量始终是“整体−余块”；只有连续减半时，余块才恰好等于最后取走的一块。

中考迁移：先由块数找次数

下面这题直接用到“每剪一刀，只多一块”。它没有规定每次减半，不能套用 1/2ⁿ。先读清哪些条件保留了。

2022·湖南常德·第 16 题

剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了 2 张纸片；从这 2 张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了 2 张纸片，这样共有 3 张纸片；从这 3 张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了 2 张纸片，这样共有 4 张纸片；……。如此下去，若最后得到 10 张纸片，其中有 1 张五边形纸片、3 张三角形纸片、5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________。

题干已对照原卷第 2 页扫描件逐字核验。原题为填空题，没有选项和配图。

展开真题答案与分步解析

答案：6。先数剪了几次，再数所有纸片一共有多少条边。

第一步：从 1 张变成 10 张，每刀增加 1 张，所以剪了 10−1＝9 次。

第二步：一刀经过原纸片的两条边。这两条边各分成两段，合计增加 2 条；剪口在两张纸上各形成一条新边，再增加 2 条。每刀使边数总和增加 4。

第三步：开始长方形有 4 条边，9 刀后共有 4＋9×4＝40 条边。

第四步：已知 9 张纸片共有 1×5＋3×3＋5×4＝34 条边。剩下一张有 40−34＝6 条边。

一般地，从一张长方形剪成 m 张，剪了 m−1 次，边数总和是 4＋4(m−1)＝4m。条件是每次只剪一张，沿不过任何顶点的直线剪成两张。

这道真题练的是“块数与次数的区分”。连续减半求和还需要每次都平分余块，单有剪纸这个样子不够。

下次看到连续分割或分数求和：先找“每次留下多少”，数清次数，再用“整体−剩余”。