奇偶拆分：一串里藏着两条规律

题目

一串数的开头是：

1，10，3，20，5，30，……

它按下面两条规则继续：

• 第 1、3、5、……项，依次放正奇数 1、3、5、……。
• 第 2、4、6、……项，依次放 10、20、30、……；每次增加 10。

求第 9 项和第 12 项。如果某项在偶数位置，它的数值与它的项号有什么关系？能不能把整串数看成“每次加同一个数”？请说明理由。

“项号”指它在整串数中是第几个位置，从 1 开始数。

答案：第 9 项是 9，第 12 项是 60。奇数项的数值等于项号；偶数项的数值是项号的 5 倍。

核心：先按位置拆成两串，再在各自的小串里找规律。要看的是项号的奇偶，不是数值的奇偶。

播放时看第 1、3、5 个位置怎样连成一串，第 2、4、6 个位置怎样连成另一串。试着指出第 12 项在偶数位置那一串里是第几个。

互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。

按步骤看图，自己说出理由

点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。

1．整体忽大忽小，先按位置分组

数块上方的数字是整串项号。按项号的奇偶分组，不是按数值的奇偶分组。

奇数位置：每次 +2；偶数位置：每次 +10。

看一、十、三、二十、五、三十。它们忽大忽小，放在一起不容易找到固定的变化。先标出第一项、第二项，直到第六项。现在尝试把奇数位置放在上面，偶数位置放在下面，注意分的是位置，不是数值的奇偶。

2．两条数列，交替出现

数块上方的数字是整串项号。按项号的奇偶分组，不是按数值的奇偶分组。

奇数位置：每次 +2；偶数位置：每次 +10。

看数块分开。奇数位置是一、三、五，每次加二。偶数位置是十、二十、三十，每次加十。这是两条有各自规则的数列，交替排在一起。把它们拆开以后，每一条都回到了固定增量的关系。

3．总项号，换成这条里的项号

数块上方的数字是整串项号。按项号的奇偶分组，不是按数值的奇偶分组。

第 6 项 → 偶数位置 → 这条的第 3 项 → 30

第 5 项 → 奇数位置 → 这条的第 3 项 → 5

奇数位置：每次 +2；偶数位置：每次 +10。

找第六项。它在偶数位置，是下面这条的第三项，不是下面这条的第六项。所以要算第三个十，得到三十。找第五项时，它在奇数位置，是上面这条的第三项，得到五。总位置和分开以后的位置，不能混在一起。

4．先选路，再数第几步

数块上方的数字是整串项号。按项号的奇偶分组，不是按数值的奇偶分组。

第 10 项 → 偶数位置 → 这条的第 5 项 → 50

第 11 项 → 奇数位置 → 这条的第 6 项 → 11

奇数位置：每次 +2；偶数位置：每次 +10。

找第十项，先判断是偶数位置，再算它是下面这条的第五项，所以得到五十。找第十一项，是上面这条的第六项，得到十一。拆开只是一个值得尝试的方法，并不是任何乱跳的数都一定能这样分。最后还要把两条重新交替排好，检查是否符合题目。

这一课用到固定增量课的找法。项号从 1 起数：1、3、5 是奇数项号，2、4、6 是偶数项号。

生活里的它：报数分队

体育课站成一排“1、2、1、2”报数：喊 1 的向前一步、喊 2 的原地不动，一排人就分成了两队——按位置的奇偶分，不按个子高矮分。本课的 1、10、3、20、5、30 正是这样：奇数位站一队（1、3、5），偶数位站一队（10、20、30），各队有自己的规律。电影院的单双号入口、马路两侧的门牌号，也都是按位置奇偶走的路。

相邻的差乱，就试着隔一个看

原题相邻的变化是＋9、−7、＋17、−15、＋25，不是固定增量。先不要硬凑一个加减式。

把项号写在上面：

项号	1	2	3	4	5	6
数值	1	10	3	20	5	30

取出奇数位置，得到 1、3、5，每次多 2。取出偶数位置，得到 10、20、30，每次多 10。题目给定这两条规则继续，所以拆开后可以各算各的。

第 12 项，是偶数位置里的第 6 项

每两个位置里恰好有一个偶数位置。第 2、4、6、8、10、12 项，依次是偶数小串里的第 1、2、3、4、5、6 项。

所以第 12 项的值是 10×6＝60。这里先算 12÷2＝6，是为了找小串的位置，不是直接拿 12 当作第 12 个十。

如果整串项号 n 是偶数，小串位置就是 n÷2。数值是：

$$10\times\frac n2=5n$$

这个结论只给偶数项用。

第 9 项，是奇数位置里的第 5 项

奇数位置是 1、3、5、7、9。第 9 项在这条小串里排第 5，它的值也是第 5 个正奇数，也就是 9。

为什么恰好与整串项号相同？奇数项号依次增加 2，它们所放的数也从 1 开始、每次增加 2，两边每一步都相同。

如果要算它在小串里的位置，可以先给奇数项号加 1，再除以 2。比如 (9＋1)÷2＝5。加 1 是把 9 补到第 5 对位置的末尾。

因此本题可以分开说：n 是奇数时，第 n 项是 n；n 是偶数时，第 n 项是 5n。n 都是正整数。

拆分是为了更简单，不是每题都要拆

题目给了两种交替的生成规则，拆开就能各用固定增量。若整串本来就每次增加相同的数，直接处理通常更短。

只有几项、没有规则说明时，奇偶拆分仍只是一种猜想。要检查所有已给位置，回答时也要说明你按哪两条规则继续。

自测：先说清它属于哪一串

自测 1：一个奇数位置，一个偶数位置

继续原题的规则。第 15 项和第 16 项分别是多少？先写它们在各自小串中的位置。

核对第 1 题

第 15 项是 15，第 16 项是 80。15 是奇数项号，在奇数小串里排 (15＋1)÷2＝8，值是第 8 个正奇数 15。

16 是偶数项号，在偶数小串里排 16÷2＝8，值是 10×8＝80。先分位置，再用那一串的规则。

自测 2：奇数位置也能放偶数

新一串的奇数位置依次放 2、4、6、……，每次多 2；偶数位置依次放 100、200、300、……，每次多 100。开头是 2，100，4，200，6，300。求第 11 项和第 14 项。

核对第 2 题

第 11 项是 12，第 14 项是 700。11 是奇数项号，在那一串里排第 6，数值为 2×6＝12。

14 是偶数项号，在那一串里排第 7，数值为 100×7＝700。分组依据是位置，不是最后算出的数值。

自测 3：一定要拆成两串吗

另一串从 2 开始，每次加 2，开头是 2，4，6，8，10。求第 10 项。奇偶拆分能做吗？有没有更直接的办法？

核对第 3 题

第 10 项是 20；能拆，但没有必要。整串已经是固定增量，直接算 2＋2×(10−1)＝20。

拆分是为了让规律更清楚。原来的相邻关系已经很简单，就先用更短的那条路。

下次隔位比较之前，先标项号；找到了两条规律，还要把“小串里的第几个”数对。