乘方的末位数字：转盘每几格转回来
从 3 的乘方末位发现 4 个一循环，把循环画成转盘，用指数除以周期定落点；换底数先写循环再做除法。
题目
不用把大数算出来，只研究末位数字。
- 依次写出 到 的末位数字，找出循环的周期；再求 的末位数字。
- 的末位数字是多少？说明指数除以周期后的余数怎样决定落点。
- 底数换成 4：先写出 4 的若干次乘方的末位，它的周期和 3 一样吗？ 的末位数字是多少？
答案：3 的循环是 3、9、7、1，周期 4；3²⁰²¹ 的末位是 3。7²⁰²⁴ 的末位是 1（余 0 落在组末）。4 的循环只有 4、6 两个，4²⁰²⁵ 的末位是 4。
核心：末位数字不需要把大数算出来——每次乘法，新的末位只由上一次的末位决定。写出循环，再用指数除以周期找落点，和周期课找图形是同一件事。
播放时先看 3 的前 8 个末位怎样 4 个一循环，再看转盘怎样用余数定落点。
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按步骤看图，自己说出理由
点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。
1．末位只由上一次的末位决定
| 项号 | 第 1 项 | 第 2 项 | 第 3 项 | 第 4 项 | 第 5 项 | 第 6 项 | 第 7 项 | 第 8 项 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 数值 | 3 | 9 | 7 | 1 | 3 | 9 | 7 | 1 |
3¹、3²、……、3⁸ 的末位：3、9、7、1、3、9、7、1——每 4 个一循环
要算三的二千零二十一次方，笔算根本写不下。但题目只问末位数字，而末位有自己的脾气：每次再乘一个三，新的末位只由上一次的末位决定。把三的一次方到八次方的末位写出来：三、九、七、一、三、九、七、一。看，每四个一循环。
2．循环画成转盘
5÷4 余 1 → 第 1 格 → 3
转盘按乘一次转一格：只把上一位的末位数字乘底数再取个位，不写大数。
把循环画成转盘：三，乘一次转一格到九，再转到七，再转到一，再转又回到三。乘一次转一格，转盘永不停。所以问很远的一次方，只要知道转了很多格以后，停在第几格。
3．指数除以周期，余数定落点
2021÷4 余 1 → 第 1 格 → 3
转盘按乘一次转一格：只把上一位的末位数字乘底数再取个位，不写大数。
2021 ÷ 4 ＝ 505 余 1 → 落在第 1 格 → 末位是 3
二千零二十一次方，就是从一次开始，一共转了二千零二十格。用二千零二十一除以四，商五百零五，余一。余一，说明停在第一格，末位是三。余几就落在第几格；整除时余零，正好走完一圈，落在最后一格。这和周期课里找图形是同一件事。
4．换底数，先写循环再除法
2024÷4 余 0 → 第 4 格 → 1
转盘按乘一次转一格：只把上一位的末位数字乘底数再取个位，不写大数。
7 的循环是 7、9、3、1；2024 ÷ 4 余 0 → 组末 → 末位是 1
换底数也一样。七的末位循环是七、九、三、一。二千零二十四除以四，整除，落在循环末尾，末位是一。二和八的循环长也是四；四的循环只有四、六两个；五和六的末位从来不变。先写出循环，再做除法，任何底数都是这一套。
这一课要用倍数与递推课的乘方记号（2⁴ 表示 4 个 2 相乘）和周期课的“项号除以周期”。
生活里的它：里程表
汽车里程表的最末一位轮转：开一公里转一格，0 转到 9 又回 0。乘方的末位也是一只小转盘——每乘一次底数转一格，转到头就从头再来。区别只是这只转盘的格数由底数决定：3 的转盘 4 格，4 的转盘 2 格，5 和 6 的转盘“卡住不动”。
末位只由末位决定
先算小的：，，，，。末位依次是 3、9、7、1、3。
为什么不用往下算大数？27×3 的个位只由 7×3＝21 的个位决定，是 1；十位、百位乘完不影响个位。所以末位永远“只乘末位”：3→9→7→1→3→……，周期 4。
指数除以周期，余数定落点
余 1，落在循环第 1 格，末位是 3。余 2 → 9，余 3 → 7，余 0 → 第 4 格（1）——整除落在组末，和周期课“余 0 是最后一个图形”完全一样。
换底数：先写循环，再做除法
| 底数 | 末位循环 | 周期 |
|---|---|---|
| 2 | 2、4、8、6 | 4 |
| 3 | 3、9、7、1 | 4 |
| 4 | 4、6 | 2 |
| 5、6 | 5（6）不变 | 1 |
| 7 | 7、9、3、1 | 4 |
| 8 | 8、4、2、6 | 4 |
| 9 | 9、1 | 2 |
7²⁰²⁴：2024÷4 整除 → 组末 → 1。4²⁰²⁵：周期是 2，2025÷2 余 1 → 第 1 格 → 4。注意 4 的周期不是 4，除法要按它自己的周期做。
自测：先写循环，再除
自测 1：换一个远指数
求 的末位数字，写出除法算式。
核对第 1 题
1。2024÷4＝506 整除，落在循环（3、9、7、1）第 4 格，末位是 1。
整除落组末。也可用 3⁴＝81 的末位是 1 来核对：每 4 次乘方正好转一整圈。
自测 2：两位数的底数
求 的末位数字。
核对第 2 题
7。13 的末位是 3，循环同 3：3、9、7、1。2023÷4 余 3 → 第 3 格 → 7。
底数的十位不影响个位：个位乘法只吃个位。
自测 3：末位不变的同学
5 的任何次方的末位是多少？6 呢？它们的“周期”可以说是几？
核对第 3 题
5 的末位永远是 5；6 的末位永远是 6。周期是 1。5×5＝25、25×5＝125，个位始终是 5。
周期 1 意味着不需要除法：任何指数都落在同一格。遇到它们直接写答案。
下次见到“很大次方的末位”，三步走：写循环 → 数周期 → 指数除以周期看余数（余 0 落组末）。