图形的周长与面积：数格子，还是数边界
用 L 形把面积与周长分开数：面积每次加 2，周长每次加 4，一般式分别是 2n＋1 与 4n＋4，学会先问"题目数什么"。
题目
用边长为 1 的小正方形摆 L 形：第 1 个由 3 个小正方形组成（横 2 格、竖 2 格，共用角落一格）；以后每一个比上一个横加 1 格、竖加 1 格。
前四个 L 形：每个比上一个横加一格、竖加一格。填充是小正方形（面积），粗线是边界（周长，每段长 1）。
- 写出前 4 个 L 形各用的小正方形个数（面积）与周长，分别说明每次增加多少。
- 用含有 的式子表示第 个 L 形的面积与周长，并用第 1 个核对。
- 第 10 个 L 形的周长是多少？为什么周长的式子也可以看作“边长为 的方框周长”？
答案：前 4 个 L 形面积 3、5、7、9（每次加 2），周长 8、12、16、20（每次加 4）。第 n 个面积 2n＋1，周长 4n＋4；第 10 个周长 44。
核心：同一串图形能数两件不同的事——小正方形的个数（面积）和边界段数（周长）。两串数各有自己的规律，先把“数什么”问清楚。
播放时先看 L 形怎样逐个长大，再看粗线描出的边界怎样每次多 4 段。
互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。
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按步骤看图，自己说出理由
点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。
1．面积加二，周长加四
面积 3；周长 8
面积 5；周长 12
面积 7；周长 16
面积 9；周长 20
用小正方形摆直角折尺一样的图形：第一个用三格，第二个五格，第三个七格。面积每次加二，因为横的方向加一格，竖的方向也加一格。同一串图还有另一件事可数：周长。第一个周长八，第二个十二，第三个十六，每次加四。
2．周长数的是边界段
面积 7；周长 16
粗线段是图形的边界，每段长 1；周长就是边界段数。
第 3 个：面积 7，周长 16——两串数都在等差增加
求周长时，看的是边界：沿着图形外沿走一圈，走过多少段长度为一的边。看第三个折尺形，边界段一共十六段，所以周长是十六。计算周长时，看边界有多少段，每段长度是多少。
3．添三条新边，减一条旧边
虚线标出原来的外边：接上新格后，它变成内部共边，不再计入周长。
每格：新增 3 条 − 旧边 1 条＝净增 2 条
每大一格：面积 ＋2（横竖各加 1 格），周长 ＋4（每格添 3 条外边，少 1 条旧边）
也可以装进边长 n＋1 的方框看：缺口的两条边同样在边界上，周长恰是方框周长 4(n＋1)。
为什么周长每次加四？先在横端接一格，原来末端的一条边变成内部共边；新格有三条边在外面。增加三条，减少一条，周长净增加两条。竖端再接一格，也增加三条、减少一条，净增加两条。两个新格合起来，面积增加二，周长增加四。
4．同一串图，两条规律
| 项号 | 第 1 项 | 第 2 项 | 第 3 项 | 第 4 项 | 第 5 项 |
|---|---|---|---|---|---|
| 数值 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
| 相邻增加 | 起点 | +2 | +2 | +2 | +2 |
| 项号 | 第 1 项 | 第 2 项 | 第 3 项 | 第 4 项 | 第 5 项 |
|---|---|---|---|---|---|
| 数值 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| 相邻增加 | 起点 | +4 | +4 | +4 | +4 |
面积 2n＋1，周长 4n＋4：同一个图，两件事分开数
把两串数放在一起：面积是三、五、七、九，一般式是二乘以序号加一；周长是八、十二、十六、二十，一般式是四乘以序号加四。同一串图，面积和周长的规律不同，因为所求的量不同。看到图形题，先问清楚：题目求面积，还是求周长。
这一课接在固定增量课之后：两串数都是等差，但它们数的是不同的东西。
生活里的它：相框与照片
给照片配相框：照片越大（面积），用的框边越长（周长）——但两者的算法不同。照片按张数/格数算，相框按边条长度算。铺地砖算的是面积，买踢脚线算的是周长；同一间房子，两笔账分开算。
面积：每次横竖各加一格
第 1 个 L 形：横 2 格＋竖 1 格，共 3 格。变大一格时，横的方向加 1 格、竖的方向加 1 格，所以面积依次是 3、5、7、9，每次 ＋2：
用 n＝1 核对：2×1＋1＝3 ✓。
周长：数边界段，不是数格子
周长沿外沿走一圈。第 1 个 L 形边界 8 段，第 2 个 12 段，第 3 个 16 段——每次 ＋4：
为什么正好 ＋4？先在横端接一格：新格有 3 条边在外面，原来末端的 1 条外边变成内部共边。周长净增 3−1＝2。竖端也这样接一格，再净增 2，所以一共增加 4。动画中的虚线标出不再计入周长的旧边。
还有一个更快的看法：第 n 个 L 形正好装进边长 的方框，而缺口处的两条边同样在边界上，所以周长恰是方框的周长 。
同一串图，两条规律
| 第几个 | 面积 | 周长 |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 8 |
| 2 | 5 | 12 |
| 3 | 7 | 16 |
| 4 | 9 | 20 |
| 一般 | 2n＋1 | 4n＋4 |
第 10 个周长：4×10＋4＝44。两个式子都是等差，但增量不同（2 对 4），因为数的东西不同。
自测：先问数什么，再动笔
自测 1：换成空心方框
用小正方形摆空心方框：第 1 个是 3×3 方框去掉中间 1 格（8 格），第 2 个是 4×4 去掉内部 2×2（12 格）。写出前 3 个的格数与一般式。
核对第 1 题
8、12、16；一般式 4n＋4。边长 n＋2 的方框去掉边长 n 的内部：格数 (n＋2)²−n²＝4n＋4。
也可以直接数：每条边数 n＋1 格，各留一个角给下一条边，四角不重复，共 4(n＋1)。又是 4n＋4——这里数的是方框的格数；L 形那题数的是边界长度。式子相同，也要分清数的是什么。
自测 2：相同格数，周长相同吗
把 4 个小正方形拼成条、拼成方块、拼成 T 形、拼成 L 形。哪些摆法周长相同？为什么？
核对第 2 题
条形、T 形和 L 形周长都是 10；2×2 方块周长是 8。数边界：每处共边让周长少 2。
1×4 有 3 处共边：16−6＝10；2×2 有 4 处共边：16−8＝8；T 形 3 处共边：10；L 形 3 处共边：10。面积都是 4，周长随拼法变——再次说明面积与周长各数各的。
自测 3：给周长配上图
一个由小正方形连成的图形周长是 4n＋4、面积是 2n＋1，它可能是什么形状？画出 n＝2 的样子并核对。
核对第 3 题
L 形。n＝2 时面积 5、周长 12：横 3 格＋竖 2 格的 L。
反过来“由式子想图”是检验理解的好办法：面积 2n＋1 说明格子每次加 2（横竖各 1），L 形横、竖各添一格，每格净增 2 条边，符合周长 4n＋4。它是一种可能，图形不一定唯一。
下次见图形规律题，第一句话先问：数格子，还是数边界？第二句：新的一幅添了什么？