项号、分式与符号：把一项分成三件事

题目

一串分数的开头是：

$$\frac12,\ -\frac23,\ \frac34,\ -\frac45,\ \ldots$$

它按下面三条规则继续：先不看正负号，第 $n$ 项的分子是 $n$，分母比它大 1；奇数项号取正，偶数项号取负。这里 $n$ 是正整数。

求第 8 项和第 9 项。请分别说明分子、分母和正负号怎样由项号确定，并用文字或式子表示第 $n$ 项。

答案：第 8 项是 −8/9，第 9 项是 9/10。第 n 项先写 n/(n＋1)，再按“奇数项号取正、偶数项号取负”决定符号。

核心：一个分数可以分成分子、分母、正负号三件事，各自找它与项号的关系。

播放时先对应项号和分子，再看分母比项号多几，最后检查正负号。三件事都对上，才得到完整的一项。

互动演示正在加载。下方可直接展开每一步的图解。

按步骤看图，自己说出理由

点开一步，先指着图说“这一部分为什么这样数”，再读说明。上方动画使用相同步骤，可逐步播放。

1．分子、分母、符号分开看

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	+1/2	−2/3	+3/4	−4/5

分子

就是项号 n

分母

项号 +1，也就是 n+1

符号

奇数位置为正，偶数位置为负

“项号”只是排第几；保留分数原写法，先看结构，不先转成小数。

看二分之一、负三分之二、四分之三、负五分之四。分数很复杂时，先拆成三件事：分子是什么，分母是什么，符号是什么。先不要把它们算成小数，小数反而会遮住位置关系。这里的分数保持题目原来的写法，不急着约分。

2．把数对准自己的项号

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	+1/2	−2/3	+3/4	−4/5

分子

就是项号 n

分母

项号 +1，也就是 n+1

符号

奇数位置为正，偶数位置为负

“项号”只是排第几；保留分数原写法，先看结构，不先转成小数。

把第一项到第四项的项号，放到分数上面。第一项的分子是一，第二项的分子是二，以后照样，分子就是项号。每个分母，都比分子多一。所以不管找第几项，先把项号写在分子，再给分母加一。

3．符号按位置交替

项号与对应的数

项号	第 1 项	第 2 项	第 3 项	第 4 项
数值	+1/2	−2/3	+3/4	−4/5

分子

就是项号 n

分母

项号 +1，也就是 n+1

符号

奇数位置为正，偶数位置为负

“项号”只是排第几；保留分数原写法，先看结构，不先转成小数。

再看符号。奇数位置是正，偶数位置是负，这是一个周期为二的循环。比如第四项，分子四，分母五，因为位置是偶数，还要添负号，得到负五分之四。大小的规律和符号的规律，要同时满足才算找到这一项。

4．把位置代回三条规则

项号与对应的数

项号	第 5 项	第 6 项
数值	+5/6	−6/7

分子

就是项号 n

分母

项号 +1，也就是 n+1

符号

奇数位置为正，偶数位置为负

“项号”只是排第几；保留分数原写法，先看结构，不先转成小数。

找第五项，分子五，分母六，奇数位置取正，得到六分之五。找第六项，分子六，分母七，偶数位置取负，得到负七分之六。检查时依次看分子、分母和符号。换了开头或符号顺序，就必须重新判断，不能只背这一串答案。

需要会读分数和辨认奇偶。周期课帮助判断正负交替，奇偶拆分课帮助看清项号。

负号表示这个数是负数。例如 −2/3 是 2/3 的相反数。这里不用复杂的负数运算，只按规则选正号或负号。

生活里的它：切蛋糕

把一块蛋糕切成 n＋1 块、拿走其中 n 块：切 2 块拿 1 块（1/2）、切 3 块拿 2 块（2/3）、切 4 块拿 3 块（3/4）……你拿到的比例越来越大，却永远差一小块到“全部”——分子分母同时变大，差距不变。“拿走的部分”与“正负号”就像蛋糕和盘子：分别看清楚，再合在一起，才是一份完整的答案。

先把“第几项”写在上面

项号	1	2	3	4
先不看正负号的分子	1	2	3	4
分母	2	3	4	5
正负号	＋	−	＋	−

题目规定这三条关系一直保留。因此，分子在第 n 项就是 n；分母则是 n＋1。这里 n 是从 1 开始的正整数。

第 8 项的分子是 8，分母是 9；第 9 项的分子是 9，分母是 10。还不能到这里就停下，符号也属于答案。

正负号的周期只有两项

符号按“正、负”反复出现。每两个位置是一组：组内第 1 个是正，第 2 个是负。

奇数项号在组内第 1 个，偶数项号在组内第 2 个。所以第 8 项为负，第 9 项为正：

$$\text{第 8 项}=-\frac89,\qquad\text{第 9 项}=\frac9{10}$$

一般规律可以直接用两句话表达，不必把符号硬塞进一个还不熟悉的指数式：

• n 为奇数时，第 n 项是 $\frac n{n+1}$。
• n 为偶数时，第 n 项是 $-\frac n{n+1}$。

为什么对后面的项也成立？分子、分母和符号都由题目给出的项号规则确定。每个正整数项号不是奇数就是偶数，正好能按其中一条计算。

符号重复，不代表整个分数重复

第 1、3、5 项都取正号，但分别是 1/2、3/4、5/6，分子和分母还在变。因此符号周期为 2，整串分数却没有每两项回到同一个数。

与奇偶拆分相同，这里判断的是“项号奇偶”。正项的分子可以是偶数；那要看题目怎样规定分子。

自测：每次都检查三个部分

自测 1：相邻的远处两项

继续原题规则，求第 20 项和第 21 项。分别写出分子、分母和符号的依据。

核对第 1 题

第 20 项是 −20/21，第 21 项是 21/22。分子等于项号，分母比项号大 1；20 是偶数取负，21 是奇数取正。

先由项号定位，再分三部分计算，不需要逐项写到第 21 项。

自测 2：分子全是偶数，符号怎样判断

新一串先不看符号，第 n 项的分子是 2n，分母比这个分子大 1；仍是奇数项号取正、偶数项号取负。开头为 2/3、−4/5、6/7、−8/9。第 6 项是多少？

核对第 2 题

−12/13。第 6 项的分子是 2×6＝12，分母为 13；项号 6 是偶数，所以取负。

这串的分子全是偶数，符号却仍正负交替。决定符号的是项号，不是分子的奇偶。

自测 3：写法变了，数值一定变吗

把原题每一项的分子和分母同时乘 2，符号不变。前几项写成 2/4、−4/6、6/8、−8/10。第 7 项怎样写？约分后是什么？与原题第 7 项一样吗？

核对第 3 题

第 7 项写成 14/16，约分后是 7/8，与原题相同。第 7 项取正；分子为 2×7，分母为 2×8。

分子和分母同时乘同一个非零数，分数的值不变。外表换了一种写法，要比较数值，不能只比较分子、分母长什么样。

下次看到分数或正负交替，先写项号。分别找分子、分母、符号的规则，再用第一项和一奇一偶两项检查。