正方形分层数表：先找端点，再数走了几步

题目（照片中的第 10 题）

如图 3-3-10，将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如，位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则位于第 45 行、第 7 列的数是 ______。

图 3-3-10（按原图重绘；右侧与下方均继续延伸）

答案：第 45 行第 7 列是 2019。

核心：先用正方形的格数确定端点，再从端点数走了几步。 第 45 行第一列是 45²，向右走 6 步就是第 7 列。

正在准备分层演示；下面的图文可以直接阅读。

先会乘法、平方和行列位置就能学。n² 表示 n×n。下面的分步图文可以单独阅读，每幅图都与上面的有声讲解对应。

第一步：先确认“第几行、第几列”

横排是行，从上往下编号；竖排是列，从左往右编号，都从 1 开始。

先用题目给的例子检查方向：第 3 行第 4 列是 12。如果找到的是 14，就把行、列交换了。

圈出的格子：第 3 行、第 4 列 → 12

这题属于“数表定位”。日历课的每行固定 7 格；这里的折线每次向外扩大。我们要重新看清填数方向。

第二步：一层一层，怎样填成正方形

把左上角的 1 当作第一层。每次在旧方阵右边添一列，在下面添一行。

新层总是先沿右边向下，再沿底边向左：

层数	本层依次填的数	填完后的方阵
1	1	1×1
2	2、3、4	2×2
3	5、6、7、8、9	3×3
4	10、11、12、13、14、15、16	4×4

例如，第 2 层先从 2 向下到 3，再从 3 向左到 4。数字始终按 1、2、3、4……的顺序填。

旧方阵 3 × 3 ＋ 新层（4 ＋ 3）＝ 4 × 4

第 4 层添了右边 4 格，再添底边左边 3 格，共 7 格。右下角已经算在右边那列里，不能再数一次。

一般地，第 k 层有 k＋(k−1)＝2k−1 格。它把 (k−1)×(k−1) 方阵补成 k×k 方阵。这正好接上平方点阵课的“每次添一条 L 形”。

第三步：第一列为什么是 1、4、9、16

只看到 1、4、9、16，可以猜它们是平方数。还要解释后面为什么一直这样。

每格填一个数，从 1 连续填到 k×k 方阵结束，共填 k² 个数，所以最后填的是 k²。

每层沿底边向左结束，最后一格恰好在第 k 行、第 1 列。

第 4 行第 1 列：4 × 4 ＝ 16

因此，第 k 行第一列就是 k²。不是背下一串数，而是用“方阵有几格”和“最后填到哪里”一起确定它。

第四步：从第一列走到第七列，要走六步

先拿小图练一次。第 4 行前 4 格是 16、15、14、13。

填数时沿底边向左，每走一格加 1。反过来从行首向右看，每走一格减 1。

从第 1 列到第 3 列，走 2 步，所以 16−2＝14。

从第 1 列向右走 3 − 1 ＝ 2 步
16 − 2 ＝ 14

回到原题：7 小于 45，所以目标在第 45 层的底边。从这一行第一列出发：

1. 第一列是 45×45＝2025。
2. 从第 1 列到第 7 列，走 7−1＝6 步。
3. 每步减 1，得到 2025−6＝2019。

第 45 行的前 7 格（其余格省略；小屏可横向滑动查看整行）

45² − (7 − 1) ＝ 2025 − 6 ＝ 2019

第五步：如果列号更大，怎样计算

第 3 行第 4 列，属于第 4 层的右边。

前 3 层已经填完 3²＝9 个数，所以第 4 列最上面是 10。向下走到第 3 行，再走 2 步，每步加 1：10＋2＝12。

第 4 列从 3² ＋ 1 开始
3² ＋ 1 ＋ (3 − 1) ＝ 12

一般地，第 c 列最上面的数是 (c−1)²＋1。向下走到第 r 行，还要走 r−1 步：

$$(c-1)^2+1+(r-1)=(c-1)^2+r$$

第六步：写出任意行、列的一般规律

设行号为 r，列号为 c，都是从 1 开始的正整数。较大的那个号，就是层数：要把目标格装进左上角的正方形，边长至少要达到较大的号。

目标位置	从哪里开始	一般式
r≥c：在本层底边，包括右下角	从行首 r² 向右，走 c−1 步，每步减 1	r²−c＋1
r＜c：在本层右边	从列顶 (c−1)²＋1 向下，走 r−1 步，每步加 1	(c−1)²＋r

对角格用两式都得到：4² − 4 ＋ 1 ＝ 3² ＋ 4 ＝ 13。

当 r＝c＝k，两种走法都到右下角：k²−k＋1＝(k−1)²＋k。它们相等，因为说的是同一个格子。

进一小步：两种走法能合成一个式子吗？

可以。设 k 是 r、c 中较大的数。前 k−1 层填了 (k−1)² 个数。

右边从上向下时，目标是本层第 r 个；底边转向左时，先数右边 k 格，再走 k−c 格。本层位置统一写成 k＋r−c。

$$a_{r,c}=(k-1)^2+k+r-c$$$$=k(k-1)+1+r-c,\quad k=\max(r,c)$$

max(r,c) 只是“取两个数中较大的那个”的记号。初学时掌握上面两种走法就够了，不需要背这个合并式。

自测：先说从哪一端开始

1．同一行，换两列

第 8 行第 1 列与第 8 行第 8 列各是多少？从前者到后者走了几步？

展开答案与理由

64 和 57，共走 7 步。第 8 行第一列为 8²＝64；前 8 格在同一层底边，向右每步减 1，64−7＝57。

2．交换行列，会得到同一个数吗？

求第 7 行第 45 列。能继续用 45²−6 吗？

展开答案与理由

1943。45 是列号，目标在第 45 层的右边。前 44 层填了 44² 个数，再往下填第 7 个，所以是 44²＋7＝1943。

第 45 行第 7 列在底边，第 7 行第 45 列在右边。交换行列后，要重新找从哪一端走。

3．知道数字，反过来找位置

数 2020 在第几行、第几列？提示：44²＝1936，45²＝2025。

展开答案与理由

第 45 行第 6 列。1936＜2020≤2025，所以它在第 45 层。

右下角的数为 2025−45＋1＝1981。2020 比 1981 大，已经转到这层底边。

从行首 2025 向右减到 2020，走了 5 步。列号比步数多 1，所以在第 6 列。

中考迁移：2023·湖南常德·第8题

这道真题也要把“第几行、第几列”与数联系起来。先看清这张新表怎样排，再决定怎样算。

观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数 $\frac{20}{2023}$ 若排在第 $a$ 行 $b$ 列，则 $a-b$ 的值为（　　）

$$\begin{array}{cccc}\dfrac{1}{1}&&&\\[6pt]\dfrac{1}{2}&\dfrac{2}{1}&&\\[6pt]\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{2}&\dfrac{3}{1}&\\[6pt]\dfrac{1}{4}&\dfrac{2}{3}&\dfrac{3}{2}&\dfrac{4}{1}\\[6pt]\cdots&&&\end{array}$$

A. 2003　　B. 2004　　C. 2022　　D. 2023

展开答案与分步解析

答案：C，2022。

1. 竖着看：第一列的分子都是 1，第二列的分子都是 2。因此第 b 列的分子就是 b。
2. 横着看：第 a 行从分母 a 开始，向右每步减 1。到第 b 列走了 b−1 步，所以分母是 a−b＋1。
3. 按表中保留分子、分母的写法，第 a 行第 b 列是下面这个分数。分母为 2023，所以 a−b＋1＝2023，得到 a−b＝2022。

$$\frac{b}{a-b+1}\qquad(1\le b\le a)$$

还可以回查：分子 20 说明 b＝20，于是 a＝2042。第 2042 行第 20 列，分母为 2042−20＋1＝2023，正好回到题目。

本课方阵用平方数找行首，这道三角数表用行号找行首分母。它们共同的一步是：从第 1 列到第 b 列，只走 b−1 步。公式随规则变化，定位的方法可以迁移。

出处：贝壳网（湖南教育出版社）收录的2023年湖南省常德市中考数学试卷，第2页第8题。已逐字核对题干、分数、四个选项和数表；数表按原卷重排，保留未约分形式。

下一次遇到数表，带走这三步：看填数方向 → 找容易确定的端点 → 数移动的步数。 先看规则，再决定用哪一种计算。