立体堆叠：搭台阶，数方块

题目

用相同的小正方体搭台阶。台阶只有 1 层厚；从侧面看，第 1 幅只有 1 级：第 1 级由 1 个小正方体摆成。以后每一幅在右边增加一级，新的一级由一列同样多的小正方体摆成，列的高度等于级数：第 2 幅有两级（左列 1 个、右列 2 个），第 3 幅有三级（列高依次是 1、2、3），……。

1. 写出前 5 幅各用多少个小正方体。
2. 第 10 幅要用多少个小正方体？请用两份台阶拼长方块的办法说明你的算式。
3. 若把每级改成由前后两排方块摆成（深度为 2），第 $n$ 幅（级数依次为 1 到 $n$）要用多少个小正方体？它与深度为 1 时是什么关系？

答案：前 5 幅用 1、3、6、10、15 个；第 10 幅用 10×11÷2＝55 个。深度为 2 时是深度为 1 的 2 倍，即 $n(n+1)$ 个。

核心：立体图形的规律要看“新的一幅添了哪一块”。台阶每一级是更高的一列，总数是 1＋2＋…＋n；两份台阶转半圈拼成长方块，就看清了除以 2 的理由。

播放时先看新的一列怎样从地面升起，再看第二份台阶怎样转半圈补进缺口。转动立体图，从正面看它正是三角点阵。

正在准备互动演示；下方文字可先阅读。

这一课把点阵课的三角数和配对求和课的除以二搬到立体里：台阶的前面就是三角点阵，长方块就是配对后的“两份”。

生活里的它

• 楼梯：每一级台阶比前一级高一层，砌楼梯的砖就像这列方块。
• 垒杯子：底层 1 只、往上每层多 1 只的金字塔杯堆，从侧面看也是这个阶梯形。
• 电影院：前排 1 个座、每往后一排多 1 个座（理想化的斜角影厅），座位总数同样是 1＋2＋…＋n。

它们共同的骨架：第 k 层（级、排）恰好有 k 个单位，总数就是把层数加起来。

从第 1 幅到第 5 幅：每次添的是一列

第 1 幅 1 级：1 块。第 2 幅：左列 1 块、右列 2 块，共 3 块。第 3 幅列高 1、2、3，共 6 块。第 4 幅 1＋2＋3＋4＝10 块。

第 5 幅添的不是 5 块零散的方块，而是一列高为 5 的新台阶级：10＋5＝15 块。所以前 5 幅是 1、3、6、10、15。

相邻的增加量 2、3、4、5——每次多一块，和点阵课“增加的数量也在变”是同一种结构。

两份拼长方块：为什么除以 2

把台阶复制一份，在正面里转半圈，移到旁边：第二份的每一列正好嵌进第一份的缺口。第 1 列原来高 1，补上 5；第 2 列高 2，补上 4；……每一列两份合起来都是 5＋1＝6 块。

$$2\times(1+2+3+4+5)=5\times6=30$$

所以一份是 30÷2＝15，正是 1＋2＋3＋4＋5。这不是巧合：每一列“台阶段数＋补的块数”都等于级数加 1，n 列合起来就是

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$$

和配对求和课的结论完全一致——那里是两行倒序配对，这里是两份台阶互补，都是先得到两份，再除以 2。

第 10 幅：不逐项加，用结构

$$\frac{10\times11}2=55$$

先检查结构没变：每级仍是一列、列高仍是级数、深度仍是 1。结构在，公式就能用；结构变了（如下一问深度变成 2），先改模型再算数。

自测：先说结构，再写算式

自测 1：更高的台阶

搭 8 级台阶（每级一列、深度 1）要多少块？写出两份拼长方块的算式。

核对第 1 题

36 块。两份拼成 8×9 的长方块立面，共 72 块，一份 72÷2＝36。

逐项核对：1＋2＋…＋8＝36。两种算法一个模型，结论一致才算放心。

自测 2：形状改了，先改模型

改成“金字塔”摆法：第 1 层 1 块，第 2 层 2×2 块，第 3 层 3×3 块，……第 n 层 n×n 块。写出前 4 幅的总块数。它还能用 n(n＋1)÷2 吗？

核对第 2 题

1、5、14、30；不能。每层是平方数：1、4、9、16，总数是 1＋4＋9＋16。

结构变了（每层从“一列 k 块”变成“k×k 一层”），原来的公式不再适用。前 4 幅照加可得 30，但一般式要到高中才学；此处只需认出新结构与旧结构不同。

自测 3：从正面看回去

不看方块，只看台阶的正面轮廓。这串“每列的方块数”1、2、3、4、5 和点阵课的哪个图相同？如果给正面每格点一个点，一共多少个点？

核对第 3 题

和三角点阵相同；5 排三角点阵共 15 个点。第 k 列 k 块，正是第 k 排 k 个点。

立体和平面在这里是同一个规律：台阶是“站起来”的三角数。转一转演示里的立体图，从正前方看一眼就能对上。

下次拿到立体堆叠图，先定一个方向数新增加的部分；能拼补出完整形状的，用拼补后的形状说清算式。