第2题 · m 个 2 相乘，除以 n 个 3 相加

题目

$$\frac{\overbrace{2\times 2\times\cdots\times 2}^{m\text{个}2}}{\underbrace{3+3+\cdots+3}_{n\text{个}3}}=$$（　　）。

A. $\frac{2^m}{3n}$　　B. $\frac{2^m}{3^n}$　　C. $\frac{2m}{3^n}$　　D. $\frac{2m}{3n}$

答案：A。 分子是 m 个 2 相乘，分母是 n 个 3 相加：

$$\frac{2^m}{3n}$$

分数线下面的 3n 整体是分母。先认两行的运算符号，再分别写出简短记号。

先分清：数的个数，与连接号的个数

2×2×2 中有 3 个因数 2，连接它们的乘号只有 2 个。因数就是参加相乘的数。

3+3 中有 2 个加数 3，连接它们的加号只有 1 个。加数就是参加相加的数。

原题的 m 记录因数 2 的个数，n 记录加数 3 的个数；它们在这里都是正整数，彼此独立。

第一步：分子是连乘，指数记录因数的个数

先取 m=3 作例子：

$$2\times2\times2=2^3=8$$

三个相同因数 2 连乘，写成 2³，读作“2 的三次方”。2 是底数，指出重复的因数；3 是指数，指出因数有几个。

因此，m 个 2 连乘就写成 2ᵐ。m 记录有几个 2，不是与 2 相乘的另一个因数。

这根据乘方记号的定义成立。例子 2×2×2=8 帮助看清意思，不能只凭这一组数代替定义。

第二步：分母是连加，写成“每个数 × 个数”

再取 n=2 作例子：

$$3+3=3\times2=6$$

每个加数都是 3，有 n 个这样的加数，总和就是 3×n，省略乘号写成 3n。

如果写成 3ⁿ，就表示 n 个 3 相乘。它改变了原题的加号，所以不能这样写。

举例：m=3，n=2。先分别读两行，再合起来。

分子有 3 个 2，之间是乘号。

$$2 \times 2 \times 2=2^{3}=8$$

分母有 2 个 3，之间是加号。

$$3 + 3=3\times 2=6$$

第三步：保留分数线，把两行合起来

原题用“m 个 2 连乘的积”除以“n 个 3 连加的和”，所以：

$$\frac{2^m}{3n}=2^m\div(3n)$$

例如 m=3、n=2，分子是 8，分母是 6，得到：

$$\frac{2^3}{3\times2}=\frac86=\frac43$$

这里用具体数核对了两行的含义。回到原题，对所有符合个数含义的 m、n，都应保留“上面连乘、下面连加”的结构，因此选 A。

其他选项分别改错了哪里

• B：分子正确，分母错误。 它的分子同样是 2ᵐ；错在把分母的连加写成了乘方 3ⁿ。
• C：两行都错误。 分子 2m 表示 m 个 2 连加，分母 3ⁿ 表示 n 个 3 连乘，均与原题符号不符。
• D：分母正确，分子错误。 3n 保留了下面的连加；2m 把上面的连乘改成了连加。

检查自己是否看懂

1. 把分子改成 4 个 3 相加，分母改成 3 个 5 相乘。先说出两行各用什么记号，再写分式。
2. 当 m=2、n=1 时，四个选项碰巧都得到同一个数。为什么仍不能说四个选项都表示原题的一般写法？

展开核对答案与理由

1. 上面连加，用乘法 3×4；下面连乘，用乘方 5³。所以是 $\frac{3\times4}{5^3}=\frac{12}{125}$。运算符号变了，写法也应跟着变。

2. 这一组数中，2²=2×2=4，3¹=3×1=3，所以四项数值都是 $\frac43$。这是个别取值的巧合。换成 m=3、n=2，四项依次为 $\frac86,\ \frac89,\ \frac69,\ \frac66$，已经不同；一般写法仍由原题的乘号和加号决定。

这类题的做法是：先认运算符号 → 分别数因数或加数 → 按定义写短 → 保留原有分数结构。 本题 m、n 表示正整数个数；这里没有讨论零次方或负指数。

真题迁移：括号里的整体，也是一个因数

2023·江西·第 4 题

仍从“指数记录相同因数的个数”入手。外面的指数 3 表示把整个括号作因数，重复三次。这道真题里的 m 表示一个数，作用与原题中“记录个数的 m”不同。

计算 $(2m^2)^3$ 的结果为（　　）。

A. $8m^6$　　B. $6m^6$　　C. $2m^6$　　D. $2m^5$

展开真题答案与解析

答案：A。先按乘方的定义，把三个相同因数完整写出：

$$(2m^2)^3=(2m^2)\times(2m^2)\times(2m^2)$$

每个括号中，m² 又表示 m×m。三个括号合起来，有三个因数 2、六个因数 m。根据乘法交换律、结合律，将相同的因数放在一起：

$$(2\times2\times2)\times(m\times m\times m\times m\times m\times m)=8m^6$$

只看括号外的 3，不能把前面的 2 直接乘以 3；三个 2 相乘应得 8。

来源：2023 年江西中考数学原卷第 1 页第 4 题，题干与四个选项已对照原卷图逐项核验。

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