第9题 · 个位5的平方：四块面积怎样得到n(n+1)

某班数学兴趣小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）填空：65²=65×65==；

（2）已知1≤n≤9且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示）。

**答案：（1）两个空依次为4225、(6×7)×100+25。**第（2）问为：

要解释“为什么是n乘n+1”，可以把平方看成正方形面积。**分成四块，先把两条的面积相加，再用分配律合并。**大块、两条、小方块是三类面积，共四块区域。

需要用到长方形和正方形面积、乘法交换律，以及分配律。例如6×4+6×1=6×(4+1)，就是把相同的6看成一份，数一共有几份。下面不要求先记住完全平方公式。

一、65²要填两个空

原题依次写“平方→自乘→数值→规律式”。65的十位为6，下一个数为7，照样写出猜想并计算：

数值也能直接用65×65核对。三个已知例子提示了这样的写法；要说明其他允许的十位也成立，还需解释下面的面积关系。

二、沿60与5，完整分成四块

65=60+5。画边长65的正方形，在两条相邻边上都分出60与5，再横、竖各画一条分割线。

65＝60＋5；下图按同一长度比例。分成4块，面积仍为65²。

1. ① 大块：60×60＝3600。
2. ② 竖条：5×60＝300。
3. ③ 横条：60×5＝300。
4. ④ 小方块：5×5＝25。

②与③是两块不同区域；它们属于同一类面积。四块不重叠、不遗漏。

①是60×60=3600；②是5×60=300；③是60×5=300；④是5×5=25。②、③分别在右边和下边，仍是两块。乘法交换两个因数的位置，面积相同。

四块不重叠，也没有漏掉部分，所以相加仍为65×65。

三、先合两条面积，另外两块保留

②与③相加：300+300=600。这一步只把两个面积数放在一起计算，原图中的纸片并没有增加、减少或变形。

把上一幅图换成4个面积记录；①大块，②竖条，③横条，④小方块。这里移动记录，原区域不移动。

虚线空框只标③的原位置，不另算一份面积；4个记录的数值和总和都不变。

3600＋600＋25＝4225。

图中的四个框是面积记录；③向上移到②右边，便于看出300+300。①的3600和④的25继续保留，因此：

四、6×7从哪儿来

为什么想提取600？因为3600是6份600，而600自己是1份。前两类面积共有6+1=7份600：

最后再加④的25，便得到6×7×100+25。25不在这7份600里，不能漏加。

五、第n个等式为什么成立

原题限定1≤n≤9，n为整数。第1、2、3个等式对应15、25、35，所以按同样的写法，第n个数为10n+5；这里n也恰好是十位上的数字。

把边长10n+5的正方形作同样分割：

区域	尺寸	面积
①大块	10n×10n	100n²
②竖条	5×10n	50n
③横条	10n×5	50n
④小方块	5×5	25

①中(10n)×(10n)=(10×10)×(n×n)=100n²，使用的是乘法交换律、结合律和平方的定义。②③各为5×10n=50n。

两条面积合计50n+50n=100n。大块和两条中，共同的一份是100n，分别有n份与1份，合起来为n+1份：

每个等号都有依据：四块面积相加、两条相加、再用分配律。这就说明原题范围内每一个n都成立；不是只试了15、25、35。

六、“接25”表示什么

n(n+1)是整数。整数乘100，末两位为00；再加25，不会向百位进位，因此可以把25接在那个整数后面。

例如6×7=42，42×100+25=4225。接25包含“乘100再加25”，直接算42+25=67不表示65²。

原题的边界也符合：n=1得到15²=225，n=9得到95²=9025。本课按原题只讨论两位数，十位是1到9。

七、个位改成6，重新核对哪几块

46=40+6。面积分割仍能使用，但每个长条的宽是6，小方块边长也变成6：

46＝40＋6；下图按同一长度比例。分成4块，面积仍为46²。

1. ① 大块：40×40＝1600。
2. ② 竖条：6×40＝240。
3. ③ 横条：40×6＝240。
4. ④ 小方块：6×6＝36。

②与③是两块不同区域；它们属于同一类面积。四块不重叠、不遗漏。

真实面积：1600＋480＋36＝2116。

个位为6，两条合40×12＝480，角为6×6＝36。

照个位5的口诀会算成4×5×100＋25＝2025，与真实面积2116不同。面积分割仍可使用，要按当前个位重新计算。

大块1600，两条合计2×40×6=480，小方块36。于是46²=1600+480+36=2116。照原口诀得到4×5×100+25=2025，数值不对。

检查自己是否看懂

1. 35²里，3×4×100对应图中哪些区域？25还要加吗？
2. 个位改成6、十位不变时，四块面积相加的方法还能用吗？两条的合计面积和角上的面积，分别会变成什么？

展开核对答案与理由

1. 对应①②③。①是30×30=900，②③各为30×5=150，合计900+150+150=1200=3×4×100。④的25还要另加，结果1225。

2. 仍能用。两条合计会从100n变成120n，小方块从25变成36；大块100n²不变。原来的“接25”简写不满足新条件。

35＝30＋5；下图按同一长度比例。分成4块，面积仍为35²。

1. ① 大块：30×30＝900。
2. ② 竖条：5×30＝150。
3. ③ 横条：30×5＝150。
4. ④ 小方块：5×5＝25。

②与③是两块不同区域；它们属于同一类面积。四块不重叠、不遗漏。

真实面积：900＋300＋25＝1225。

个位5，两个长条合30×10＝100×3，角为25。因此3×4×100＋25＝1225。

下次先把平方数、十位与运算式对应起来，再用完整分割说明理由。**识别个位5 → 四块面积相加 → 合两条、提共同因数 → 解释乘100与加25。**条件改变后，保留仍成立的面积关系，重新计算改变的部分。

配套真题：同一个关系换字母表示

2022·浙江嘉兴·第19题

原卷用a表示十位，带横线的a5表示由十位a、个位5组成的两位数，也就是10a+5，不是a×5。这和本课用n表示十位是同一个面积关系。

设$\overline{a5}$是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）。例如，当a=4时，$\overline{a5}$表示的两位数是45。

（1）尝试：

①当a=1时，15²=225=1×2×100+25；

②当a=2时，25²=625=2×3×100+25；

③当a=3时，35²=1225=________；

……

（2）归纳：$\overline{a5}^{\,2}$与100a(a+1)+25有怎样的大小关系？试说明理由。

（3）运用：若$\overline{a5}^{\,2}$与100a的差为2525，求a的值。

展开真题答案与解析

（1）③填3×4×100+25。

（2）两者相等。将本课的n换成原题的a，同样分成四块，面积和为：

$$\overline{a5}^{\,2}=100a^2+50a+50a+25=100a(a+1)+25.$$

（3）用上述等式表示原题的差：

$$\begin{aligned}\overline{a5}^{\,2}-100a&=100a^2+25=2525,\\100a^2&=2500,\qquad a^2=25.\end{aligned}$$

a是1到9中的数字，只有5的平方为25，所以a=5，原数为55。回原式核对：55²−100×5=3025−500=2525。范围条件也排除了负数。

出处：2022浙江嘉兴中考数学原卷，第1页卷首、第4页第19题。已逐字核对完整题干、三个小问及（1）中的三条尝试；本题无附图、无选项，答案默认折叠。

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