第5题 · 数字重排：579到495后，为什么不再变

题目

乐乐设计了一个有趣的运算程序：任意写出一个三位数（三位数字全相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，然后把差重复这个过程。以579开始，按照此程序运算2024次后得到的数是________。

答案：495。前三次从579走到495；再把495输入同一程序，954−459仍得到495，所以以后每次输出都相同。

这课要能做到：执行一次完整的重排求差，把输出作为下一次输入，按次数记录，并说明为什么后面不必逐次算。需要会按数位比较数的大小、三位数减法与余数的含义。

先定“一次”：排两个数，相减，再接回输入

同样的三个数字可以有不同排法。百位大，整个数就大；百位相同再比十位，十位也相同再比个位。所以排最大数时先把最大的数字放到百位，再依次放其余数字；排最小数时反过来。

完成一次减法，才算完成一次程序运算。排最大数和排最小数是一次运算中的两个动作，不能把它们各算一次。起点579还没有执行程序，记作完成0次。

第一次：579的三个数字分别排两次

先排最大数。最大的9放百位，余下的7放十位，5放个位，得到975。动画中的①②③标识原来的三张数字卡，不会因重排增加或消失。

输入记录579，排最大数。两列从上到下均为百、十、个位。

实线只有三张数字卡；空框是位置参照，虚线是移动路线；实线箭头表示原位置与目标位的对应关系。

当前卡：5（①），从原百位移到最大数的个位。先向右进入中间通道，沿通道移到目标行，再向右放入。

最大排列：975。

再从同样的5、7、9排最小数：5放百位，7放十位，9放个位，得到579。两幅示意图展示两种排法，各自都只有三张实线卡；空框只是位置参照。

输入记录579，排最小数。两列从上到下均为百、十、个位。

实线只有三张数字卡；空框是位置参照，虚线是移动路线；实线箭头表示原位置与目标位的对应关系。

当前卡：9（③），从原个位移到最小数的个位。先向右进入中间通道，沿通道移到目标行，再向右放入。

最小排列：579。

最大975−最小579=396，这是第1次的输出。接下来重排396的三个数字，不能继续重排原来的579。

第二次和第三次：每次都用新的输入

第2次输入396，三个数字是3、9、6。最大963，最小369：

第2次：输入396，使用这次输入的三个数字。

数字：3、9、6。

最大排列963；最小排列369。

963−369=594。

本次输出594 → 下一次输入594。

963−369=594，所以第2次输出594。

第3次输入594，三个数字是5、9、4。最大954，最小459：

第3次：输入594，使用这次输入的三个数字。

数字：5、9、4。

最大排列954；最小排列459。

954−459=495。

本次输出495 → 下一次输入495。

954−459=495。目前只能说第3次到了495，还要检查下一次是否改变。

再验495自己输入：为什么以后都一样

495含4、9、5三个数字，与594含有的数字相同，只是原来的数位不同。因此最大数仍是954，最小数仍是459。

第4次：输入495，使用这次输入的三个数字。

数字：4、9、5。

最大排列954；最小排列459。

954−459=495。

本次输出495 → 下一次输入495。

输入495 → 按同一规则 → 输出495 → 再输入495。

输入相同，下一次的排序与减法就相同。因此以后每次输出都是495。

954−459=495；495−495=0，是另一个算式。

495输入→954−459→495输出。下一次仍输入495，就仍按同一规则排出954与459，输出也仍是495。这个理由可以反复接下去，说明以后每一次都一样。

第2024次怎样定位：到达与检验分开计数

完成运算次数	此时的数
0（起点）	579
1	396
2	594
3	495

第4次、第5次、……，每次都输出495。

已完成3次，还需2024−3=2021次。检验的第4次也包含在这些次数中。

第2024次的结果：495。

第3次已经得到495。剩下2024−3=2021次，即第4次到第2024次，每次输入495、输出495。第2024次的结果就是495。

刚才检查495自己输入，检查的是第4次。这一次已经包含在剩下的2021次中，不能因为“又验了一次”就在次数上多减一次。

换起点：264能否接上同样的路

仍用原题的重排求差程序，从264开始。先独立算前几次，判断第2024次的结果，并说明后续重复的理由。

展开264的核对

642−246=396；963−369=594；954−459=495。第三次到495后，再算954−459仍是495，所以第2024次仍是495。

这是对264这一起点的说明，不能仅凭579和264两个例子就声称已经证明所有起点的结果。

换规则：反复出现不一定只剩一个数

自编对照程序：从0开始，每次用1减去当前输入的数。第1次1−0=1，第2次1−1=0，再往后0、1轮流出现。问第2024次会是多少？为什么不能说它“停在1”？

展开对照程序的答案与理由

第0次为0，第1次为1，第2次又为0。相同输入0再次出现，后面的过程按0→1→0→1继续重复。每两次回到0；2024是偶数，所以第2024次为0。

原题495每执行一次就回到495，是每1次重复；这个自编程序每2次重复。寻找的是由规则保证的重复关系，不能把“问很大的次数”当成“必定保持一个数”的证明。

下次遇到重复程序，先确认一次操作的完整规则与输入，再记录前几次。发现重复输入后说明后续为什么也重复，最后定位所求次数。改变起点或规则，都要重新检查到达过程和重复部分。

相关中考真题：相同的奇偶输入，产生相同的后续

2024·江苏扬州·第8题

下面同样问很远的位置，但只求奇数的个数。要检查重复的是数值，还是足以决定后续的奇偶信息，不能直接套原题的495。

1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（　　）

A. 676　　B. 674　　C. 1348　　D. 1350

展开答案与一般理由

选D，1350个。题目已经明确给出“每个数等于前两个数之和”的生成规则。先写1、1、2、3、5、8，它们的奇偶为奇、奇、偶、奇、奇、偶。

为什么奇偶会继续重复？奇数各有1个不能配成双的单位，两份余下的1合成一双，所以奇+奇为偶；奇+偶与偶+奇都仍余1，所以为奇。

相邻两数的奇偶	下一数	新的相邻两数
奇、奇	偶	奇、偶
奇、偶	奇	偶、奇
偶、奇	奇	奇、奇

回到相同的两数奇偶组合后，按同一加法规则，之后的奇偶也重复。因此从第1个数开始，每3个为一组“奇、奇、偶”，每组有2个奇数。

2024=3×674+2，前674组有674×2=1348个奇数，余下的2个恰好都是奇数，共1348+2=1350个。

与原题的共同关系是“相同的完整输入，按确定规则得到相同的后续”。原题的输入是一个完整数；这里判断下一项奇偶需要前两个数的奇偶，仅看到一个奇数再次出现还不够。数列的数值本身没有循环，循环的是奇偶信息。

出处：2024年江苏省扬州市中考数学原卷文档预览。已核对页首考试名称、预览第2页第8题的完整题干及四个选项；本题无附图。预览是原卷内容的文档排版，不声称为考试机构官网扫描件。