第7题 · 裂项相消：每个带号加数都要有去处

题目

观察下列等式：

**（1）**第4个等式是________；

**（2）**请根据上面的规律计算：

答案：（1）−(1/4)×(1/5)=−1/4+1/5；（2）−2023/2024。

要解释的不只是答案：**先保证每个乘积改写后值不变，再找到每个带号加数的伙伴。**中间互为相反数的两项相加为0；开头与末尾的两项没有伙伴，保留下来。

先确认三个基础：分数乘法、通分相加，以及互为相反数的两个数相加等于0。比如+1/2与−1/2互为相反数，和为0。划线只是把这个0标出来，不能任意删除原式中的项。

一、第4个等式，左右分别核对

第一个等式用1、2，第二个用2、3，第三个用3、4。所以下一个用4、5，猜想是：

左边乘分子、乘分母：−1/20。右边通分：

左右相等，所以第4式成立。

第4式待核对：−1/4×1/5=−1/4＋1/5。

左边：−1/4×1/5=−1/20。

右边：−1/4＋1/5=(−5＋4)/20=−1/20。

左右都是−1/20，第4个等式成立。

二、为什么任意相邻分母都能这样拆

用正整数k表示当前乘积的第一个分母，另一个是k+1。这里k不是永远代表等式编号；原题刚好从分母1开始，两者的数值才碰巧相同。

把−1/k通分时，分子要乘k+1，得到−(k+1)；另一个分子的1乘k得到k。分子相加为−k−1+k=−1。这和原乘积的分子相同，分母也相同。

k为正整数，两个分母都不为0。这个理由说明每个相邻分母的乘积都能改写，不只核对了4、5这一组。

三、先把前三个乘积完整拆开

下面只看原式最前面的三个乘积，暂时不算整串到2024的结果。

三个乘积改写成六个带号加数。每个小框只表示一个加数，原乘积的行号保留，方便检查它来自哪里。

只看前三个乘积。每个实框是一个带号加数，箭头连的是本次配对的两项。

＋1/2＋(−1/2)=0。这两项相加为0，数值没有被任意删去。

已核对1对0；原来的6个加数仍保留在图中，斜线标记相加为0。

两对全部相加为0后，未配：−1 ＋1/4；前三个乘积的和为−3/4。

先配①：第1行的+1/2与第2行的−1/2相加为0。此时不能把两个乘积整组划掉：第1行的−1、第2行的+1/3都还在。

再配②：第2行的+1/3与第3行的−1/3相加为0。

只看前三个乘积。每个实框是一个带号加数，箭头连的是本次配对的两项。

＋1/3＋(−1/3)=0。这两项相加为0，数值没有被任意删去。

已核对2对0；原来的6个加数仍保留在图中，斜线标记相加为0。

两对全部相加为0后，未配：−1 ＋1/4；前三个乘积的和为−3/4。

六个加数中，四个进入两对0，未配的两个是−1与+1/4。因此前三个乘积的和为−1+1/4=−3/4。图中仍保留划线的原数，标明它们是相加成0，并非凭空消失。

四、省略的部分为什么也都有伙伴

回到原题：第一个分母从1到2023，共2023个乘积；拆开后共4046个加数。

对每个中间分母2、3、…、2023，都能找到：

• 前一个乘积拆出的正分数；
• 后一个乘积拆出的、分母相同的负分数。

它们互为相反数，恰好配成0。每个带号加数只使用一次，共有2023−2+1=2022对。

只放大当前一对，不表示原式全部：正项来自原乘积2022，负项来自原乘积2023。

＋1/2023＋(−1/2023)=0。这两项相加为0，数值没有被任意删去。

箭头表示配对关系；逐渐划线表示核对相加为0，不改变两项的数值。

最后一对是+1/2023与−1/2023，分别来自倒数第二个和最后一个乘积。省略号中也有按规则排列的完整乘积；不能隔着省略号把+1/4和−1/2023硬配成一对。

整道题：2023个乘积 → 4046个带号加数。

2022对使用4044个加数，未配的有2个。

原式没有伙伴的两项：−1 ＋1/2024。

−1＋1/2024=(−2024＋1)/2024。

原式=−2023/2024，在−1与0之间。

没有伙伴的是最前面的−1和最后面的+1/2024：原式中没有+1与−1/2024。于是：

数目也对得上：4046个加数，2022对使用4044个，剩2个。答案在−1与0之间，也与“负1加上一个很小的正分数”一致。

检查自己是否看懂

1. 若从−(1/2)×(1/3)开始，一直加到−(1/5)×(1/6)，还会留下−1吗？请指出没有伙伴的两项。
2. 只看前三个乘积，去掉中间的−(1/2)×(1/3)，还能只剩−1与+1/4吗？

展开核对答案与理由

1. 不会。留下−1/2与+1/6，它们的和为−3/6+1/6=−1/3。开头改变后，左端也要跟着改变。

2. 不能。剩下(−1+1/2)+(−1/3+1/4)，+1/2失去了−1/2，−1/3也失去了+1/3；四项都没有伙伴。和为(−12+6−4+3)/12=−7/12。直接算两个乘积−1/2−1/12，也得−7/12。

带走的做法是：**看出原题给出的改写线索 → 用通分说明相等 → 保留符号与来源，配成0 → 逐项检查未配项。**完整连续排列时，中间都有伙伴才只留两端；改起点、末项或漏一项，都要重新核对。

真题迁移：同一个关系换个方向写

2022·浙江舟山·第19题

这题仍然检查“先观察分母，再用通分说明一般关系”。n表示左边分数的分母；原题第一式从n=2开始，不能把n直接当成式子的编号。

观察下面的等式：

（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）

（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．

展开真题答案与解析

（1）一般结论是：

$$\frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}\quad(n\text{为正整数}).$$

（2）右边两个分数通分，分子相加为n+1：

$$\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}=\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac1n.$$

n为正整数，n与n+1都不为0，所以上述运算成立。把等式两边同时减去1/n，再减去1/[n(n+1)]，就得到本课用过的−1/n+1/(n+1)=−1/[n(n+1)]。移到另一边时符号也要改变，关系本身保持不变。

出处：2022中考原卷下载页。下载原卷题头为“2022年浙江省舟山市中考试卷”，逐字核对第19题的三条等式与两个小问；本题无选项、无附图，答案默认折叠。

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