第3课时第1题 · 一个内部点，为什么净多两块

题目

三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以这(n+3)个点为顶点剪三角形，那么最多可以剪出多少个小三角形？

【问题探究】我们可以从n=1、n=2、n=3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪出的小三角形个数的变化规律（如表3-3-2）。

表3-3-2

三角形内部点的个数	图形	最多可以剪出的小三角形个数
1		3
2		5
3		7
…	…	…

按原表重绘。2个点和3个点各保留两种分割示意；只数实际剪下的小块。

【问题解决】

(1) 当三角形内部有4个点时，最多可以剪出的小三角形的个数为________；

(2) 你发现的变化规律是：三角形内部的点每增加1个，最多可以剪出的小三角形增加________个；

(3) 猜想：当三角形内部点的个数为n时，最多可以剪出________个小三角形。

答案：(1) 9；(2) 2；(3) 2n+1。

核心关系：**每加1个内部点，最多净增加2块；未画内部点时，原来已有1块。**所以n个内部点对应1+2n块。

这里的“剪出”指把原纸片完整地分成互不重叠的小三角形，只用题给的点作顶点。不把几块合起来的大三角形再重复计数，也不随意增加新交点。

先看分割过程。每段讲完会停下；可以数一数、说出理由，再继续。

先把表格当线索，别急着认定公式

表中第一列是内部点数，最后一列是实际剪下的小块数：1点对应3块，2点对应5块，3点对应7块。

第一步可以执行得很具体：把两列上下对齐，在3与5之间写“+2”，在5与7之间也写“+2”。这让我们想到一个猜想：每多画1个内部点，最多多2块。

但前三个例子还不能说明以后一定如此。**缺少的关系是：图里哪一块改变了，为什么净多2块？**因此下一步回到图上，追踪一个新点。

1块变3块，净增加的是2块

内部已有1个点时，把它与原三角形的三个顶点相连，得到3块。

再在其中一块的内部画第2个点，把新点与这块的三个顶点相连。原来这1块被替换成3块，另外两块保持原样。

只重新分开描边的 1 块；外轮廓与其他块保持原位。

原有 3 块 · 1 → 3，净增 2 · 现在共 5 块

新增量是3−1=2，不能把新出现的3块全算成“额外增加”，因为原来的1块已被替换。因此总数由3变成5。

新点恰在旧切线上，也要看两侧

“内部点”指点在原大三角形内部。它可以恰好落在已经画出的内部切线上，不能因此说它落到了原图形外边。

这条内部共边两侧各有1块。把新点分别连到两侧三角形各自的另一个顶点：每侧1块变2块，合计2块变4块，净增4−2=2。

只重新分开描边的 2 块；外轮廓与其他块保持原位。

原有 3 块 · 2 → 4，净增 2 · 现在共 5 块

这两种位置覆盖了新的内部点：落在某一块里面，或落在已有的内部共边上。都可以继续分割，且都净增加2块。

起点选清楚，新增次数就不会少算

从还没有画内部点开始，原三角形本身是1块。

每加入1个内部点，净增2块。加入n个内部点，经历n次这样的增加：

小块数 = 原有1块 + n次新增的2块 = 1+2n = 2n+1。

如果从表中“1个内部点、3块”开始，也可以写3+2(n−1)。这里n−1表示第1个点之后又加的点数，不是总点数。两式整理后相同。

代回核对：n=1得3，n=2得5，n=3得7。它们与原表一致；这一步检查起点和运算，一般理由来自刚才的分割过程。

第(1)问，n=4时：2×4+1=9块。第(2)问，每增加1个内部点，净增2块。

为什么这是“最多”，而不只是一种能做到的剪法

前面的构造说明可以剪出2n+1块。要回答“最多”，还要排除另一种剪法能更多的可能。

用两个已知关系核对：**一个三角形内角和是180°；围绕内部一点的一整周是360°。**把所有小三角形的角记一笔总账。

按小块算：5×180°=900°。

按顶点位置算：大三角形三个角合起来180°；内1、内2各一整周360°。

180°＋2×360°=900°。这是同一批小角的两种算法。

• **按小块算：**如果有T块，每块的三个角合起来180°，总角度就是180T。
• **按位置算：**位于大三角形三个顶点的小角拼回原来的三个角，共180°；每个内部点周围的小角拼成一整周360°，n个内部点共360n。

它们计算的是同一批小角，没有重复，也没有遗漏。因此：

180T = 180+360n，除以180，得到 T=1+2n。

只要使用这n个内部点、完整分成小三角形，换剪法也不会超过这个数。若少用某些内部点，对应的整周更少，块数也更少。前面的构造确实能达到2n+1，所以第(3)问的最多个数就是 2n+1。

检查条件改变后会怎样

在原大三角形的一条边上画1个新点，把它连到对面的顶点。这一次实际分成几块？与“内部画1点”有什么不同？

展开核对与理由

分成2块，净增1块。这是1块分成2块；内部画1点则是1块分成3块，净增2块。变化的是点的位置条件，所以不能只看“多了1个点”就套2n+1。上方探索可以保留同样点数，只改变最后一点的位置，比较真实小块。

带走的方法：先从小情形找新增量的线索 → 回图追踪一次局部替换 → 分清原有量与净增加量 → 按实际增加次数列式 → 检查条件与上界。

中考真题：固定增加量也要能指回图形

**2024·重庆B·第7题。**这题练同一条关系：看清每次图形怎样增加，再用“起点+新增量×变化次数”。它的新增量是3，不是本题的2；不是在考相同的剪三角形结论。

用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 2 个菱形，第②个图案中有 5 个菱形，第③个图案中有 8 个菱形，第④个图案中有 11 个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　）。

图 ①

图 ②

图 ③

图 ④

A. 20　　B. 21　　C. 23　　D. 26

展开答案与解析

选C，23个。图①先有2个；从一幅到下一幅，三排各增加1个菱形，合计增加3个。从图①到图⑧经过7次增加，因此2+3×(8−1)=23。先指出图里的新增对象，再列式，不能只凭2、5、8、11四个数就认定所有题都按同一规律继续。

原卷出处：2024年重庆市初中学业水平暨高中招生考试数学试题B卷，原卷版第7题。题干、四个图案、所求图号与四个选项已按原卷页核对；图按题意重绘。