第3课时第5题 · 幂的裂项相消

题目

观察下列各式：

2² − 2¹ = 2 = 2¹；

2³ − 2² = 4 = 2²；

2⁴ − 2³ = 8 = 2³；

……

(1) 仔细观察：2²⁰²⁴ − 2²⁰²³ = ______。

(2) 探究规律：

根据以上观察、计算，你能发现什么规律？试写出第n个等式，并说明第n个等式成立的理由。

(3) 实践应用：

计算：2 + 2² + 2³ + … + 2¹⁰⁰。

(4) 深度思考：

计算：3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰²⁴。

答案：(1) 2²⁰²³；(2) 2ⁿ⁺¹−2ⁿ=2ⁿ（n为正整数）；(3) 2¹⁰¹−2；(4) (3²⁰²⁵−3)÷2。

裂项是把一项换成与它相等的两项之差；相消是相同的数一加一减，合起来等于0。本题全程保留幂与指数，先看清每项怎么拆，再看哪些项能消。

需要先会：指数表示相同因数的个数；同一个数加一次、减一次等于0；加法可以交换、结合。暂时不必把大幂算成整数。

第一步：指认较小的指数，解释为什么多一就是两倍

前三个等式的较小指数依次是1、2、3，较大指数分别比它多1。先在每个等式里圈出这对指数，试着用一句话描述它们的关系。

这能帮助猜出规律。要说明第n个等式一直成立，还要回到乘方的含义：2ⁿ是n个2相乘；再多乘一个2，得到2ⁿ⁺¹，所以2ⁿ⁺¹是2份2ⁿ。

两份减去一份，剩下一份：

2ⁿ⁺¹−2ⁿ = 2×2ⁿ−1×2ⁿ = (2−1)×2ⁿ = 2ⁿ。

这里用到乘方的含义与分配律，n为正整数。按题目相邻指数的写法，第n个等式的小指数是n，大指数是n+1。三个小例子帮助发现它，上面的运算关系说明它一般成立。

第(1)问的小指数是2023，大指数2024恰好多1，所以2²⁰²⁴−2²⁰²³=2²⁰²³。

为什么把差式倒过来用

第(3)问要把很多个幂相加。直接算出每个大数很长，而刚证明的等式，右边恰好就是这些加数。因此可以倒过来写：

2ᵏ = 2ᵏ⁺¹−2ᵏ。

左边的2ᵏ是原来的一项，右边是与这一项相等的差。不是给原和额外加了一项。

四项小例：哪两项相消，留下谁

把四项分别写开，每个括号对应原来的一项。指数从原项的k变为k+1与k：

$$2^1+2^2+2^3+2^4$$ $$=(2^2-2^1)+(2^3-2^2)$$ $$\quad +(2^4-2^3)+(2^5-2^4)$$

先找第1行的正2²与第2行的负2²：底数相同、指数相同，一加一减合为0。接着配正2³与负2³，最后配正2⁴与负2⁴。连线指向搭档；划线保留它们原来的位置。

每个带号项都有自己的来源。最初的负2¹没有正2¹作搭档；最后新写出的正2⁵没有负2⁵作搭档。因此留下：

$$S=2^5-2^1=32-2=30$$

相消的依据是加法交换律与结合律：把相同幂的一正一负放在一起，它们的和为0，去掉这些0不改变总和。不是把相邻位置的任意两个数直接删去。

独立相加核对：2+4+8+16=30。这个小例用来检查写法；接下来还要说明原题的一百项为什么也能这样配对。

换回100项：每个内部幂都恰有一加一减

原题指数从1到100。每个加数仍按同一个已证明的等式改写，下面只显示首两行、末两行；中间96行省略。

对任意内部指数j（2≤j≤100），第j−1行给出正的2ʲ，第j行给出负的2ʲ，恰好配成一对。这个对应关系覆盖所有内部指数，所以它们都相加为0。

第一行留下−2¹；最后一行把2¹⁰⁰改为2¹⁰¹−2¹⁰⁰，留下+2¹⁰¹。因此：

2+2²+2³+…+2¹⁰⁰ = 2¹⁰¹−2。

最后留下的正项比原末项多一个指数。原末项是2¹⁰⁰，不能把留下的正项也写成2¹⁰⁰。

底数改成3：为什么整个差要除以2

3ᵏ⁺¹比3ᵏ多一个因数3，所以是3份3ᵏ。减去1份，剩2份：

3ᵏ⁺¹−3ᵏ = (3−1)×3ᵏ = 2×3ᵏ。

此时“下一幂减本幂”是原加数的两倍。因此要写成：

3ᵏ = (3ᵏ⁺¹−3ᵏ)÷2。

四项小例中，每个括号都是“下一幂−本幂”，共同的除以2作用于全部括号的和：

$$S=\frac{(3^2-3^1)+(3^3-3^2)}{2}$$ $$\quad +\frac{(3^4-3^3)+(3^5-3^4)}{2}$$ $$=\frac{3^5-3^1}{2}=120$$

中间相消的是正3²与负3²、正3³与负3³、正3⁴与负3⁴。留下的整个差仍要除以2；独立相加3+9+27+81=120核对数值。

换回第(4)问，原末项为3²⁰²⁴，最后改写出的正项为3²⁰²⁵。于是：

3+3²+…+3²⁰²⁴ = (3²⁰²⁵−3)÷2。

检查：漏掉一项，还能直接只取两端吗

现在要算2+2²+2⁴，其中没有2³。能否直接写成2⁵−2？先用每行的正负项说明理由，再算出结果。

展开核对与理由

不能，结果是22。写开为(2²−2¹)+(2³−2²)+(2⁵−2⁴)。只有正2²与负2²配对；正2³没有负2³，负2⁴也没有正2⁴。

留下2⁵+2³−2⁴−2¹=22；直接相加2+4+16也得22。2⁵−2=30会把缺少的2³也算进去。

所以“只剩两端”需要中间每个幂都有一加一减。起点、末项或中间的加数改变后，都要重新找未配的项。

带走的方法：先说明单项改写相等 → 标记带号项的来源 → 相同幂的一加一减配对 → 检查未配项与外面的除数。

拓展视频：分数中的裂项相消

这段视频讲的是分数裂项，适合学完本课后作比较：幂可以拆成“下一幂减本幂”，分数也可以改写成两个分数的差。两种写法都要先证明改写相等，再找相同数的一加一减。

$$\frac1{1\times3}+\frac1{3\times5}+\cdots+\frac1{99\times101}$$ $$=\frac12\left(1-\frac1{101}\right)=\frac{50}{101}$$

正在准备演示…

视频来源：郭嘉老师数学思维 · 抖音原视频。这是一段分数拓展讲解；本题的幂与指数推理仍以上面的正文和互动演示为准。

中考真题：核对推理起点的乘方含义

2023·江西·第4题。本课用“多一个相同因数”解释相邻幂的关系。这道真题同样可以展开重复乘法，核对每种因数有几个。

计算 $(2m^2)^3$ 的结果为（　　）。

A. $8m^6$　　B. $6m^6$　　C. $2m^6$　　D. $2m^5$

展开答案与解析

选A，8m⁶。把(2m²)³写成三个2m²相乘。三个括号一共有三个2、六个m，所以是2³×m⁶=8m⁶。

这里的3在数相同括号的个数。本课的2ⁿ⁺¹比2ⁿ多一个因数2，也是从乘方的定义判断倍数关系，再接着作减法。

原卷出处：江西省2023年初中学业水平考试数学试题卷，第4题。卷名、题号、题干和四项选项已对照原卷第1页核验；原题无图。