第3课时第4题 · 翻倍数层，展开按连接数张

题目

【再现】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细的面条，如图3-3-15。

原来

第1次捏合后

第2次捏合后

第3次捏合后

这样捏合到第六次后，拉面师傅将拉面（捏断两头）放入锅中煮好后盛入碗中，此时碗中有________根面条。

【应用】若一张纸片厚0.1毫米，我们所住住宅楼每层的高度约为2.8米，那么对折纸片20次后约有多少层住宅楼高？（结果取整数，参考数据：2²⁰=1 048 576）

【探究】将一张长方形的纸对折，如图3-3-16所示可得到一条折痕。继续对折，对折时本次折痕与上次的折痕保持平行。连续对折5次后，用剪刀在中间将所有纸片剪断，总共有________张纸片。

答案：【再现】64根；【应用】约37层楼；【探究】平行折痕剪透为33张，垂直折痕剪透为2张。

核心是先说清在数什么。一次完整对折使层数翻倍；剪开后有几张，要看哪些部分仍然相连。

原图只画折痕，没有画剪口方向。下面先约定“剪口平行折痕，从折好纸叠的中间剪透”，再比较垂直剪法。这样才能说明33张对应什么条件。

第一步：写操作次数，不把次数当根数

拉面题从1根粗面条开始。每次捏合拉伸，长条部分变成前一次的2倍。弯头还相连；原题最后有“捏断两头”，之后再数碗里的独立长面条。

“每次乘2”是题中操作的关系，几个小数值用来核对它。一般做k次，长条部分为2ᵏ；最后捏断弯头，6次得到2⁶=64根。0次还没操作，保留原来的1根。

同一张纸，为什么折好一次变成两层

先看折线。右半张绕这条不动的线抬起，再合到左半张上。面积没有增加，纸也没有断开，两个半张只是盖在一起，所以是2层、仍相连的1张纸。

第二次要折整叠，两层都参与。每一层又各分成两层，得到2×2=4层。继续按同样条件折，完成k次就是2ᵏ层。

3D中的弧箭头标出合拢方向，虚线保留原边位置。拖动画面只是换观察方向；纸有没有折好，要看纸面相对折线的位置。也可暂停、回拖，检查两边仍在同一折线上相接。

20次的厚度，先统一单位再比楼高

本问按理想情况计算：每次都完整对折，每层厚度仍按0.1毫米相加。20次有2²⁰层，题目已给出2²⁰=1 048 576。

104857.6毫米要先除以1000，变为104.8576米。住宅楼每层约2.8米，因此：

104.8576÷2.8≈37.45层楼，取整数约37层楼。

这里的“层”有两个意思：纸的重叠层数，与住宅楼的层数。比较高度时用米，不把毫米直接当米。实际纸的厚度、尺寸和弯折能力会限制能折多少次；本问计算的是题设的理想叠加。

剪纸先拿2次的小例，为什么4层会得5张

先明确本段剪法：剪口平行折痕，从折好纸叠的中间剪透所有层。不是再把折痕剪开。

2次对折有4层。一刀穿过4层，在原纸展开的位置上留下4条不同剪口。按原折痕把纸片展平、摆回原位置，再拉开，就能数出5个互不相连的部分。

两端各有一个半段，分别算1张。中间每个跨过折痕、仍连着的部分，也只算1张。4层虽被切成8个半段，3处未剪断的折痕仍把对应半段连着，所以8个半段不等于8张。

5次为什么是33张：到原纸上找不同剪口

换回原题的5次对折：2⁵=32层。仍按上段的平行剪法，一刀穿过每层中间，在展开的原纸上对应32条不同的剪口。

每一条都贯穿长方形的一侧到另一侧。第1条把纸分成2张，再多一条不同的平行剪口，就再分出1张；32条就是32+1=33张。

展开看32条剪口及33片的对应

展开看剪口：平行折痕剪透。黑虚线是折痕；红实线才是剪口。

32条不同剪口把原纸分成33张；折痕不额外剪断纸。

第1片框内只算1片

第2片跨着折痕，仍是1片

第3片跨着折痕，仍是1片

第4片跨着折痕，仍是1片

第5片跨着折痕，仍是1片

第6片跨着折痕，仍是1片

第7片跨着折痕，仍是1片

第8片跨着折痕，仍是1片

第9片跨着折痕，仍是1片

第10片跨着折痕，仍是1片

第11片跨着折痕，仍是1片

第12片跨着折痕，仍是1片

第13片跨着折痕，仍是1片

第14片跨着折痕，仍是1片

第15片跨着折痕，仍是1片

第16片跨着折痕，仍是1片

第17片跨着折痕，仍是1片

第18片跨着折痕，仍是1片

第19片跨着折痕，仍是1片

第20片跨着折痕，仍是1片

第21片跨着折痕，仍是1片

第22片跨着折痕，仍是1片

第23片跨着折痕，仍是1片

第24片跨着折痕，仍是1片

第25片跨着折痕，仍是1片

第26片跨着折痕，仍是1片

第27片跨着折痕，仍是1片

第28片跨着折痕，仍是1片

第29片跨着折痕，仍是1片

第30片跨着折痕，仍是1片

第31片跨着折痕，仍是1片

第32片跨着折痕，仍是1片

第33片框内只算1片

每框单独放大看1片，不按不同框的大小比较面积。图内虚线折痕不把纸片分开。

一般地，完整对折k次有2ᵏ层。这种剪法的不同剪口也是2ᵏ条，因此张数为2ᵏ+1。理由来自剪口怎样分开原纸；3、5、9、17、33这些小情形只能帮助核对，不能代替这个一般理由。

剪口转90°，为什么层数不变却只得2张

保持5次对折，改成剪口垂直折痕，从纸叠中间剪透。展开后，这些切口沿同一条横线接起来，是一条贯穿整张原纸的剪口，分成上下2张。

层数仍是32，因为对折次数没有变。张数变了，因为剪口在展开纸上的位置变了。

检查：为什么不能只看32层就报张数

保持对折次数不变，剪口分别平行、垂直折痕。请说明：哪一个数量相同，哪一个数量可能不同？你准备看展开纸上的什么来判断？

展开核对与理由

层数相同，张数可能不同。层数只由这些完整对折操作决定。张数要看剪口是否把原纸分成了不同的、互不相连的区域。

5次对折时，平行剪法对应32条不同剪口，得33张；垂直剪法展开只成一条横向剪口，得2张。不能把“32层”直接当作剪开后的张数。

带走的方法：先认计数对象 → 从起点数操作 → 用重复乘法算翻倍 → 换算统一单位 → 剪纸回到原纸看连接。

中考真题：指数是在数相同因数

**2023·江西·第4题。**用乘法的交换律、结合律和乘方的含义，就能展开核对。

计算 $(2m^2)^3$ 的结果为（　　）。

A. $8m^6$　　B. $6m^6$　　C. $2m^6$　　D. $2m^5$

展开答案与解析

选A，8m⁶。(2m²)³表示三个相同的2m²连乘。每组有一个2和两个m，三组合起来有三个2、六个m，得到2³×m⁶=8m⁶。

指数3在数三个相同的括号；展开后继续数每种相同因数。拉面六次是六个2连乘，纸的20次是二十个2连乘，都是先认清因数，再数个数。这道真题中的m表示数，与本题的操作次数不同。

原卷出处：江西省2023年初中学业水平考试数学试题卷，第4题。卷名、题号、题干和四项选项已对照原卷第1页核验；原题无图。