第2题 · 剪去一角，先查哪些旧边整条消失
按通常凸多边形、单次直剪角的范围，选A。三角形、四边形、五边形分别给出剩四边形的剪法；六边形至少剩5边。数边时扣掉整条消失的旧边，再添新剪口，剪口端点仍可保留；同时检查凹多边形与零面积的边界。
题目
- 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）。
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
听讲解
按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。
先把要剪去的角的顶点记作大写 A，沿一条直线剪下这一角，纸片不折叠。下面先按没有向里凹的角的凸多边形来分析，剪后还要留有面积的纸片。要判断边数，沿剩下的轮廓走一圈，找出哪些旧边整条消失，又添了哪条新剪口。
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按本题通常采用的凸多边形、单次直剪角模型，选A（六边形）。三角形、四边形、五边形都能给出剩四边形的剪法；六边形至少剩5条边。
先说明范围：凸多边形没有向里凹的角，每个内角都小于180°。下面把纸片放平，只用一次直剪口剪去一角，剩下仍是有面积的多边形。原题没写“沿一条直线”，也没给剪法图；这里把通常的解题约定说清楚，不把它当作原题印出的条件。允许凹多边形时结论会改变，文末有对照。
下面都是讲解示意图，点名A、B等为讲解添加。阴影斜线标剪走的小三角形，虚线保留原轮廓，深色实线标留下的边；沿留下的轮廓数标号，不把灰色的原角A也数进去。
三角形：两条旧边各留一段，再添剪口
在△ABC中，剪口P、Q分别落在AC、AB内部。剪掉A所在的小角后，AB和AC都只是缩短，两条旧边还各留一段；BC保持不变。
原来3条边，一条也没有整条消失，再添PQ，得到3＋1＝4条边。这给出了选项D可能的剪法。
原来3边，剪后4边。完整消失的旧边：0条；新剪口1条。
四边形：整条消失1条旧边，边数不变
在四边形ABCD中，剪口一端到D，另一端Q仍在AB内部。AD整条被剪走，AB还留QB，BC、CD也都保留；再加DQ。
因此4−1＋1＝4条边，选项C也可能。
D是剪口端点，仍在留下的纸片上。不能把“AD这条旧边消失”说成“D也被带走了”。
原来4边，剪后4边。完整消失的旧边：1条；新剪口1条。
五边形：整条消失2条旧边，剩四边形
在五边形ABCDE中，剪口直接连接A两旁的相邻顶点B、E。AB与AE两条旧边整条消失，BC、CD、DE保留，再添BE。
因此5−2＋1＝4条边，选项B也可能。B、E都保留，它们也是新剪口的两个端点。
原来5边，剪后4边。完整消失的旧边：2条；新剪口1条。
六边形：最少也剩5条边，才能说“不可能”
在刚才的凸多边形模型中，两旁旧边完整消失的数量只能是0、1或2。其他旧边都保留，新剪口添1条边：
剪后边数＝原边数−整条消失的旧边数＋1。
要让剩边尽量少，就让两旁旧边都整条消失。六边形仍有6−2＋1＝5条边，已经超过4，因此排除选项A。
原来6边，剪后5边。完整消失的旧边：2条；新剪口1条。
自测：改变剪法时，这笔账还成立吗
1.同一个凸五边形，直剪一角后可能剩几条边？如果把剪口放得更远，但两端仍都在边内部，边数一定变少吗？
展开五边形与远近的判断
| 完整消失的旧边 | 剩边数 |
|---|---|
| 0条 | 6条 |
| 1条 | 5条 |
| 2条 | 4条 |
所以可以剩6、5、4边。“更远”不能单独决定边数；只要端点仍在两条边内部，两旧边都还留一段，仍是5＋1＝6边。要检查端点是否恰好到相邻顶点。
2.三角形剪口恰好连接另外两个顶点时，能把“原边数减1”机械写成剩一个2边形纸片吗？
展开有面积的边界
剩下一条线段，面积为0；不是“2边形”纸片。
不能。留下的是线段，没有面积，不是多边形纸片。所以“剩下仍是多边形”是刚才数边关系的必要范围；三角形不能剪出一个2边形。
为什么还要说明“凸”：一个凹六边形的对照
这是改变适用范围的检查，不是原题另给了一幅凹图。下面若允许凹多边形，剪掉A后，新剪口FB与原边BC排成同一条直线，合为FC。B仍在纸上，却不再是新图形转弯的角点。
展开凹六边形剪成四边形的反例
原来6边，剪后4边。完整消失的旧边：2条；另有1处并成直边。
先按未合并的边段记6−2＋1＝5段；FB与BC合成一条FC，又少一次转弯，最后是4条直边。因此若把原题的“多边形”扩展到任意凹多边形，选项A也可能，不能仍声称只有A不可能。本课的A答案依赖开头说明的常见凸多边形直剪角约定；推广时必须检查这项范围。
配套真题：2025·甘肃·第6题
这道题在原卷图中明确画出了剪口的两端都落在边内部，直接检查“两条旧边都留一段，所以边数加1”。其中先由内角和求原边数是附加的一步，没学过可先看折叠提示。
2025·甘肃·第6题
如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（ ）
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
还没学内角和公式，先看这条关系
凸n边形从一个顶点连接不相邻顶点，可以分成n−2个三角形；每个三角形内角和180°，所以原多边形内角和是(n−2)×180°。可以对照三种分割中，从顶点出发的n−2块来理解。
展开选项与剪口判断
选A。先由内角和反查原边数：
原来有11条边。图中剪口两端都在边内部，两旧边都没有整条消失，再添一条新剪口，得到11＋1＝12条边。原图的右侧虚线表示省略，不能只数可见转折点。
整卷可信文本及原卷式预览（第1页第6题）。按整卷核对年份、题号、1620°、四选项、剪口位置和省略边界后收录。