第1题 · 先找∠BOC，再两次用90°相减

题目

1. 如图 4-1，点 O 在直线 AE 上，OC 平分 ∠AOE，∠DOB 是直角。若 ∠1＝25°，则 ∠AOB 的度数是（　　）

A. 65°　　B. 25°　　C. 90°　　D. 115°

听讲解

按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。

1. 平分平角，先得到90°

先看直线大写 A、大写 E，点大写 O 在这条直线上。射线大写 O、大写 C 把平角分成相等的两份，一百八十度的一半是九十度。所以大写 A、大写 O、大写 C 围成的角是九十度，这是先能写出的一个整体。

1平分平角，先得到90°2直角DOB减25，得到BOC65°3再用AOC的90减65，得到25°4换数字或射线位置，先核对图

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答案：B，∠AOB＝25°。本题有两个不同来源的90°，先用它们把中间的∠BOC求出来，再求所问角。

∠AOB＝90°−65°＝25°。

先把平分条件变成可用的角度

O在直线AE上，所以∠AOE＝180°。OC平分的是这个平角，把它分成相等的两份：

$$180^\circ\div2=90^\circ.$$

因此∠AOC＝∠COE＝90°，也就是OC⊥AE。蓝色图形标出下面要用的整体∠AOC。

∠AOE＝180°；平分后∠AOC＝90°。

用直角DOB求中间的BOC

先找∠1的边：标号1在OC与OD之间，所以∠1＝∠COD＝25°。

图中OC在∠DOB里面，顺着OB、OC、OD的次序看，∠BOC与∠COD刚好拼成这个直角。因此：

$$90^\circ-25^\circ=65^\circ.$$

得到∠BOC＝65°。它是帮助求所问角的中间量，还不是∠AOB。

∠BOC＝90°−25°＝65°。

再换一个90°整体收尾

现在回到∠AOC。图中OB在∠AOC内部，∠AOB与∠BOC刚好组成90°，因此：

$$90^\circ-65^\circ=25^\circ.$$

所以∠AOB＝25°，选B。这里先找到了“所求在哪个整体里、缺哪一部分”，再从另一个直角补出缺的角，不是看到90°就随意相减。

对照选项，确认正在求哪一个角

数值	在原图中对应的角
65°	∠BOC，刚求出的中间量
25°	∠AOB，题目所求
90°	∠AOC等直角
115°	∠AOD＝90°＋25°，终边换成OD后的另一个角

每次算完，把结果对应的两条角边指出来，确认没有把中间角或另一个角当作所求。

改变条件后，先核对图

检查1：保持原图射线次序，∠1改为15°时，∠AOB是多少？说明两次互余关系是否保留。

展开15°变式

∠BOC＝90°−15°＝75°，∠AOB＝90°−75°＝15°。两个整体与部分的关系仍成立。

检查2：保持∠1＝25°和OD，改取另一条与OD垂直的OB，让它指向右下方。还能照原式算∠AOB吗？

展开改变射线位置的图

另一条OB仍与OD垂直，但∠AOB＝155°。

不能照搬。OC已不在直角∠DOB内部，原先那次相减的包含关系失效。新的OB与原来的OB方向相反，∠AOB的较小角为180°−25°＝155°。改变位置时先重新检查所有已知条件和角的位置。

配套真题：2024·北京·第2题

这道原题直接练习在平角和直角关系中补出剩余角：先把垂直写成90°，再看直线上的180°里还剩哪一块。

2024·北京·第2题

如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC。若∠AOC=58°，则∠EOB的大小为

（A）29°　　（B）32°　　（C）45°　　（D）58°

展开32°与理由

选B。A、O、B在同一直线上，∠AOB＝180°；图中OC、OE都在这个平角内，且∠COE＝90°。扣去∠AOC＝58°与∠COE＝90°，剩∠EOB＝180°−58°−90°＝32°，也就是90°−58°。

原卷扫描PDF（第1页第2题）。原题、四选项及图按原卷保留，答案默认折叠。