wanlufei 的题本2026年10月20日收录

初一数学·约 10 分钟·图文讲解

第8题 · OC可画在两侧，45°为什么都不变

原题没有限定OC在直角内部。第（1）问随作图为30°或150°；第（2）（3）问两种情形的∠DOE都为45°。内部把两个半角相加，外部从大半角中扣去小半角。

题目

如图4-5，∠AOB＝90°。

（1）操作发现：在同一平面内，以点O为顶点，OA为始边画出∠AOC，使∠AOC＝60°，观察图形后请直接写出∠COB的度数：______°。

（2）探究延伸：在（1）的条件下画出∠COB的平分线OD，∠AOC的平分线OE，观察图形后请直接写出∠DOE的度数：______°。

（3）探究拓展：在（1）（2）的条件下，若将“∠AOC＝60°”改为“∠AOC＝2α（0°＜α＜45°）”，其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由。

原图

备用图

图4-5按原图重绘：一幅原图与两幅备用图都只有OA、OB；OC、OD、OE待按题意作出。

听讲解

按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。

1. 原题未限定内部，先画两种OC

原图只有向右的射线大写 O 大写 A，和向上的射线大写 O 大写 B，夹角为九十度，还没有画大写 O 大写 C。从大写 O 大写 A 向上量六十度，或向下量六十度，都满足角大写 A 大写 O 大写 C 等于六十度。内部图的角大写 C 大写 O 大写 B 为九十减六十，三十度，外部图则为九十加六十，一百五十度，先说明自己画的是哪一幅。

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答案： 第（1）问，若OC画在∠AOB内部，∠COB＝30°；若画在OA下方，∠COB＝150°。第（2）（3）问，两种作图都得到∠DOE＝45°。

原题说“在同一平面内”，没有说“OC在∠AOB内部”。第（1）问要求观察自己画的图填写角度，先说明画的是哪一种；如果另加“OC在直角内部”，才只保留30°这一种。

先会两件事：直角为90°；角平分线把一个角分成两个相等的角。第（3）问的α读“阿尔法”，表示一个角的大小，2α就是它的2倍。

第一步：从OA向两侧量60°

先标定点O，保持OA向右、OB向上。从OA向上量60°，可以画出一条OC；从OA向下量60°，还可以画出另一条OC。

以下两张图是两种独立的作图，每张图只有一条OC。两种都满足∠AOC＝60°。

OC画在∠AOB内部：∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝30°。

OC画在OA下方这一侧：∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝150°。

内部图里，∠AOC和∠COB拼成90°，所以∠COB＝90°−60°＝30°。

外部图里，从OC转向OB要经过OA，∠COB包含60°和90°，所以∠COB＝60°＋90°＝150°。

第（2）问：内部图用两个半角相加

OE平分∠AOC，因此∠EOC＝60°÷2＝30°。

OD平分∠COB，因此∠COD＝30°÷2＝15°。

从OA向OB看，射线依次为OA、OE、OC、OD、OB。OC在OE、OD之间，所求∠DOE正好由∠EOC与∠COD拼成。

OC画在∠AOB内部：∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝30°。

OE平分∠AOC，∠COE＝30°；OD平分∠COB，∠COD＝15°。

∠DOE＝∠EOC＋∠COD＝30°＋15°＝45°。

\begin{aligned}\angle DOE&=\angle EOC+\angle COD\\&=30^\circ+15^\circ\\&=45^\circ.\end{aligned}

外部图：从大半角中扣去小半角

此时∠COB＝150°。OD平分它，所以∠COD＝150°÷2＝75°。

OE仍平分∠AOC，∠COE仍为30°。按OC、OE、OA、OD、OB的次序看，OE在OC与OD之间。

∠COD由∠COE和∠EOD组成。求其中的∠DOE，应从大角中扣去另一部分。

OC画在OA下方这一侧：∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝150°。

OE平分∠AOC，∠COE＝30°；OD平分∠COB，∠COD＝75°。

∠DOE＝∠COD−∠COE＝75°−30°＝45°。

\begin{aligned}\angle DOE&=\angle COD-\angle COE\\&=75^\circ-30^\circ\\&=45^\circ.\end{aligned}

两图结果相同，但理由的加减关系不同。外部图中的60°与150°并不合成90°，不能把内部图的相加公式直接套过去。

第（3）问：把60°改成2α，再证明

0°＜α＜45°给出0°＜2α＜90°。OC仍可以在OA两侧，刚才两种射线顺序各自保留；这个取值范围本身不能代替“在直角内部”的位置条件。

内部： ∠COB＝90°−2α。OE、OD分别平分两角，因此∠EOC＝α，∠COD＝45°−α。

\begin{aligned}\angle DOE&=\alpha+(45^\circ-\alpha)\\&=45^\circ.\end{aligned}

外部： ∠COB＝90°＋2α。两个半角分别为∠COE＝α、∠COD＝45°＋α。

\begin{aligned}\angle DOE&=(45^\circ+\alpha)-\alpha\\&=45^\circ.\end{aligned}

两种情形中α都被加上又扣掉，结果都为45°。这说明在整个给定范围内成立；代入α＝30°只是在核对第（2）问，不能代替这两条一般理由。

自测：数值改变后，哪些关系保留

把∠AOC改为40°，∠AOB仍为90°，两条平分条件保留。两种位置下∠COB各是多少？再分别说明∠DOE为什么仍是45°。

展开两种位置的核对

内部∠COB＝50°，两个半角为20°与25°，相加得到45°。

OC画在∠AOB内部：∠AOB＝90°，∠AOC＝40°，∠COB＝50°。

OE平分∠AOC，∠COE＝20°；OD平分∠COB，∠COD＝25°。

∠DOE＝∠EOC＋∠COD＝20°＋25°＝45°。

外部∠COB＝130°，两个半角为65°与20°，相减得到45°。

OC画在OA下方这一侧：∠AOB＝90°，∠AOC＝40°，∠COB＝130°。

OE平分∠AOC，∠COE＝20°；OD平分∠COB，∠COD＝65°。

∠DOE＝∠COD−∠COE＝65°−20°＝45°。

再把∠AOB改成80°，∠AOC取60°，其余平分条件保留。此时还会是45°吗？

展开改变总角的核对

两种都变为40°。内部：∠COB＝20°，∠DOE＝30°＋10°＝40°；外部：∠COB＝140°，∠DOE＝70°−30°＝40°。

OC画在∠AOB内部：∠AOB＝80°，∠AOC＝60°，∠COB＝20°。

OE平分∠AOC，∠COE＝30°；OD平分∠COB，∠COD＝10°。

∠DOE＝∠EOC＋∠COD＝30°＋10°＝40°。

OC画在OA下方这一侧：∠AOB＝80°，∠AOC＝60°，∠COB＝140°。

OE平分∠AOC，∠COE＝30°；OD平分∠COB，∠COD＝70°。

∠DOE＝∠COD−∠COE＝70°−30°＝40°。

总角改变，原来的45°也改变。若只交换OD、OE各自平分的对象，仍是同两条射线互换名称，它们之间的角大小不变。

选读真题：先求整角，再取一半

这道已核验中考题直接检查直角中的求角与角平分线。它还需要知道：半圆直径AB所对的圆周角∠ACB为90°；尚未学过圆的性质时，可以先跳过。

（2024·湖北·第8题）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°。①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB、BC于D、E；②分别以D、E为圆心，大于 $\frac{1}{2}DE$ 为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP，则∠ABP＝（　）

A. 40°　B. 25°　C. 20°　D. 15°

按原题重绘：保留半圆与三组作图弧，标明A、B、C、O、D、E、P，不预标所求角度。

展开真题答案与理由

选C，20°。∠ACB＝90°，再由三角形内角和求出∠ABC＝180°−90°−50°＝40°。

图中的圆规作图使BD＝BE、DP＝EP，BP为两三角形共有的边。它是作∠ABC内部平分线BP的步骤，所以∠ABP＝40°÷2＝20°。

这题用到相同的“整角与半角”关系；45°不变量与内外分类的理由仍看本课证明。

出处：2024年湖北省中考数学完整原卷文本复刻（解析版），第3页第8题。已核对完整题干、选项、作图步骤和图；图按题意重绘。直接考查本课45°不变量及两类作图的近五年中考原卷题仍未核实，保留这项配套缺口。