第3题 · 以OA为共同边，画全两类平分线夹角
两个已知角共用OA，先由平分求∠AOM10°、∠AON25°。OB、OC在OA同侧时取两个半角的差15°，异侧时相加得35°；两类都满足题意。换30°与70°再互换时，具体半角分别变化，只有答案集合相同。
题目
- 已知平面内∠AOB＝20°，∠AOC＝50°，射线OM、ON分别平分∠AOB、∠AOC，则∠MON的大小是________。
听讲解
按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。
两个已知角都有顶点大写 O，并且都以射线大写 O、大写 A 为一条边。射线大写 O、大写 M 平分大写 A、大写 O、大写 B 的二十度角，所以大写 A、大写 O、大写 M 的角是十度。射线大写 O、大写 N 平分大写 A、大写 O、大写 C 的五十度角，所以大写 A、大写 O、大写 N 的角是二十五度。
正在准备声音，准备完成后可播放或拖动进度。 每段讲完自动暂停，想一想或动手后再继续。
答案：∠MON＝15°或35°。两类位置都满足题干：OB、OC在共同参考射线OA的同一侧，或分别在OA两侧。
原题没有附图，也没把哪条射线在哪一侧写成条件。下面的图是讲解添加的两种合法摆法，图中把OA画成向右只是为了便于比较。
先分别求两个具体半角
OM平分∠AOB＝20°，所以∠AOM＝10°：
ON平分∠AOC＝50°，所以∠AON＝25°：
这两个数在接下来的两种摆法中都保持。变化的是OM、ON相对OA的位置，不是把已知的20°或50°改成别的数。
同侧：大半角AON中扣去小半角AOM
先将OB、OC都画在OA上方。∠AON＝25°比∠AOM＝10°大，OM位于∠AON里面，∠AOM与∠MON拼成∠AON。
因此：
得到∠MON＝15°。斜线标∠AOM，黄色标从OM到ON余下的角；虚线射线是两条平分线OM、ON。
∠AOB＝20°；∠AOC＝50°。
∠AOM＝10°；∠AON＝25°。
∠MON＝15°。同一侧时，比较两个半角的差。
异侧：OA把所求角分成两部分
把OC画到OA下方，仍与OA成50°，ON也在下方，与OA成25°。OB与OM保持在上方。
此时OA位于∠MON里面，∠MON由∠MOA的10°和∠AON的25°拼成，因此：
得到∠MON＝35°。这里20°、50°和两个平分条件都没变，不能因为第一幅图已算出15°就排除这幅图。
∠AOB＝20°；∠AOC＝50°。
∠AOM＝10°；∠AON＝25°。
∠MON＝35°。OA把所求角分成两部分，两半角相加。
为什么这样分已经完整
固定OA后，OB的20°可画到上方或下方；每一种OB位置下，OC的50°又可在上方或下方，共有4种上、下组合。
将两条射线都画在下方，得到的是第一幅图关于OA的镜像；将OB改到下方、OC改到上方，得到的是第二幅图的镜像。把整张图翻到OA另一边，夹角大小保持，所以4种摆法合并为同侧、异侧两类数值。
| OB相对OA | OC相对OA | ∠MON |
|---|---|---|
| 上方 | 上方 | 15° |
| 上方 | 下方 | 35° |
| 下方 | 上方 | 35° |
| 下方 | 下方 | 15° |
自测：交换数值后，具体对象变了吗
检查1：把∠AOB改为30°、∠AOC改为70°，OM、ON仍分别平分它们。∠AOM、∠AON各是多少，∠MON有哪些可能值？
展开30°与70°的结果
∠AOM＝15°，∠AON＝35°；同侧为35°−15°＝20°，异侧为15°＋35°＝50°，所以∠MON＝20°或50°。
检查2：再互换两个已知度数，使∠AOB＝70°、∠AOC＝30°。两个具体半角还都和刚才相同吗？∠MON的可能值变了吗？
展开互换后的对应关系
∠AOM由15°变成35°，∠AON由35°变成15°。两个具体角都变了，只是两个半角组成的一组数仍为15°与35°，它们的差、和保持，因此∠MON仍为20°或50°。
∠AOB＝70°；∠AOC＝30°。
∠AOM＝35°；∠AON＝15°。
∠MON＝20°。同一侧时，比较两个半角的差。
这时应写35°−15°，顺序是∠AOM减∠AON，不能保留原来的角名顺序。先认具体对象，再判断哪一个大。
中考真题配套
近五年内直接对应共同参考边、双平分线夹角加减与位置分类的中考原卷题尚未核实，配套暂缺。