wanlufei 的题本2026年10月20日收录

初一数学·约 8 分钟·图文讲解

第7题 · 两个半角相等，怎样说明两个整角相等

先由BD、CE两条平分线分别找出相等的小角，再用题设∠DBC＝∠ECB连接两处关系。两个整角各由两份相等的小角组成，所以相等；第（2）问得70°、70°和40°。

题目

如图4-4，已知BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∠DBC＝∠ECB。

（1）猜想∠ABC和∠ACB的大小关系，并说明理由；

（2）若∠DBC＝35°，求∠A的度数。

图4-4按题意重绘：D在AC上，E在AB上，连接BD、CE。原图没有角记号；不能只凭外观判定等角。

听讲解

按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。

1. 已知小角相等，为什么先找平分关系

题目要比较角大写 A 大写 B 大写 C，和角大写 A 大写 C 大写 B，直接给出的却是两个小角相等。先在大写 B 处找出线段大写 B 大写 D，再在大写 C 处找出线段大写 C 大写 E，它们分别把所在的大角平分。先说明每个大角由哪两个小角组成，才能把小角相等接到大角相等。

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答案：（1）∠ABC＝∠ACB；（2）∠A＝40°。 两个大角各由两份相等的小角组成，这就是从“半角相等”推到“整角相等”的理由。

先会两件事：角平分线把一个角分成两个相等的角；三角形三个内角相加为180°，相当于一个平角。

第一步：在B、C处分别找出被平分的角

要比较的是整个∠ABC和整个∠ACB，题目却直接给出两个小角∠DBC与∠ECB相等。它们和所求的两个大角有什么联系？先用“平分”条件找这条联系。

BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC。两角首尾相接，正好组成∠ABC。

CE平分∠ACB，所以∠ACE＝∠ECB。它们首尾相接，正好组成∠ACB。

BD平分∠ABC：∠ABD＝∠DBC；CE平分∠ACB：∠ACE＝∠ECB。两处弧分别指认这四个小角。

题设再给出∠DBC＝∠ECB。把这条相等关系接到两处平分关系上，两个整角各由两份相等的小角组成。

第（1）问：每个大角都有两份同样的角

∠ABC由∠ABD和∠DBC组成；它们相等，因此∠ABC是∠DBC的2倍。

∠ACB由∠ACE和∠ECB组成；它们也相等，因此∠ACB是∠ECB的2倍。

题设又给出∠DBC＝∠ECB。把同样大的角各取两份，结果相等，所以

\begin{aligned}\angle ABC&=2\angle DBC,\\\angle ACB&=2\angle ECB,\\\angle DBC&=\angle ECB\\\Longrightarrow\quad\angle ABC&=\angle ACB.\end{aligned}

图看起来对称，可以帮助猜想；上面的三条已知关系，才是说明猜想成立的依据。

第（2）问：由35°求两个整角，再求∠A

∠DBC＝35°。先由BD平分∠ABC，得到另一个小角∠ABD也为35°。

因此∠ABC＝35°＋35°＝70°。再由第（1）问，∠ACB也为70°。

BD平分∠ABC：∠ABD＝∠DBC；CE平分∠ACB：∠ACE＝∠ECB。两处弧分别指认这四个小角。

∠DBC＝35°，∠ECB＝35°；∠ABC＝70°，∠ACB＝70°，∠A＝40°。

\begin{aligned}\angle A&=180^\circ-\angle ABC-\angle ACB\\&=180^\circ-70^\circ-70^\circ\\&=\boxed{40^\circ}.\end{aligned}

反查：两个大角各由35°＋35°组成，确实都为70°；40°＋70°＋70°＝180°，三角形内角和也满足。四个小角以及两个平分条件能同时成立。

自测：改一个数，再删一条条件

把∠DBC改为40°，其余条件不变。∠A是多少？先说明两个大角各是多少。

展开新角度的核对

∠ABC＝∠ACB＝2×40°＝80°，因此∠A＝180°−80°−80°＝20°。

BD平分∠ABC：∠ABD＝∠DBC；CE平分∠ACB：∠ACE＝∠ECB。两处弧分别指认这四个小角。

∠DBC＝40°，∠ECB＝40°；∠ABC＝80°，∠ACB＝80°，∠A＝20°。

如果只知道BD、CE分别是角平分线，删去“∠DBC＝∠ECB”，还能推出∠ABC＝∠ACB吗？

展开反例

不能。例如∠ABC＝70°、∠ACB＝60°、∠A＝50°，是一个有效三角形。

分别平分后，∠DBC＝35°，∠ECB＝30°。两条平分线都存在，但两个大角不相等，说明跨顶点的小角相等关系不可省略。

BD平分∠ABC：∠ABD＝∠DBC；CE平分∠ACB：∠ACE＝∠ECB。两处弧分别指认这四个小角。

∠DBC＝35°，∠ECB＝30°；∠ABC＝70°，∠ACB＝60°，∠A＝50°。

这是删去“∠DBC＝∠ECB”后的另一个三角形。BD、CE仍各自平分，但两个整角不相等。

检查边界：共同半角能改成45°吗

不能形成本题的三角形。两个大角会各为90°，已经合计180°，剩下∠A＝0°，三个顶点不能围成一个非退化三角形。

若把共同半角记作小写x，它必须满足0°＜x＜45°；这时∠A＝180°−4x才为正角。

选读真题：先求整角，再用平分求半角

这题直接用到本课的三角形内角和与角平分线。它还需要一个圆的知识：直径AB所对的圆周角∠ACB为直角，即90°；尚未学过圆的性质时，可以先跳过这道选读题。

（2024·湖北·第8题）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°。①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB、BC于D、E；②分别以D、E为圆心，大于 $\frac{1}{2}DE$ 为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP，则∠ABP＝（　）

A. 40°　B. 25°　C. 20°　D. 15°

按原题重绘：保留半圆与三组作图弧，标明A、B、C、O、D、E、P，不预标所求角度。

展开真题答案与理由

选C，20°。AB是半圆的直径，C在半圆上，所以∠ACB＝90°。

先用三角形内角和：∠ABC＝180°−90°−50°＝40°。

第①②步是作角平分线的过程：BD＝BE，DP＝EP，BP又为两三角形共有，因而BDP与BEP对应相等，∠DBP＝∠PBE。图中BP在∠ABC内部，因此BP平分∠ABC。

所以∠ABP＝40°÷2＝20°。若暂未学过三边对应相等判定三角形全等，可先将这组作图步骤作为已学角平分线作法使用；作图弧提供等长关系，角度仍由三角形内角和与平分关系计算。

本课由半角求整角，这道题反过来先求整角再取一半；每次都须先确认平分关系。

出处：2024年湖北省中考数学完整原卷文本复刻（解析版），第3页第8题。已对照公开原卷预览的题干、作图步骤、四个选项和图核验，图按题意重绘。