第4题 · 重叠的三个正方形：先找相等的余角
原图三个正方形重叠。先把两个直角共同包含的EOD扣去，得到右侧COE等于左侧DOF，也就是β；再在固定直角AOB内写α＋β＋角3＝90°，求得角3＝90°−α−β。图按原题等边长绘制，数值与边长变式检查适用范围。
题目
- 如图4-2，将三个同样大小的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3＝________。
听讲解
按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。
先看原图，三个正方形在共同顶点附近彼此重叠，并没有把一圈分成三个互不重叠的直角。角一等于α，角二等于β，角三是所求，图形的摆放位置也要保留。为了讲清关系，把共同顶点记作大写 O，接下来只追踪从大写 O 出发的边。
正在准备声音，准备完成后可播放或拖动进度。 每段讲完自动暂停，想一想或动手后再继续。
答案：∠3＝90°−α−β。关键是先把左侧的β对应到右侧，再从一个直角中扣去α、β。
原图的三个正方形彼此重叠，同一块角度会同时属于不止一个正方形。不能把三个90°当成互不重叠的部分，直接相加去凑一周360°。
先认角3在哪个直角里面
为讲解添加点名，把共同顶点记作O：固定正方形在O的两条边记作OA、OB；另外两个正方形对应的两条边分别记作OC、OD和OE、OF。
于是∠AOB、∠COD、∠EOF都是90°。图中∠1＝∠AOC＝α，∠2＝∠DOF＝β，所求∠3＝∠EOB。
两个重叠直角，各扣去同一块
按原图射线次序，OE位于∠COD里面，OD位于∠EOF里面：
- ∠COD由∠COE和∠EOD组成，是90°；
- ∠EOF由∠EOD和∠DOF组成，也是90°。
两边都扣去同一个∠EOD，因此剩下的∠COE＝∠DOF＝β。
∠COD＝∠EOF＝90°。
∠COE＋∠EOD＝∠EOD＋∠DOF。
扣去共同的∠EOD，∠COE＝∠DOF＝β。
这也叫“同一个角的余角相等”：两个角都与∠EOD合成90°，所以都等于90°−∠EOD。图中浅灰点线只是连接新增点名与对应的原顶点，不表示另加的几何条件。
再回到固定正方形的一个直角
现在看∠AOB。射线按OA、OC、OE、OB依次经过，里面连续的三块分别是α、刚找到的β和∠3：
所以：
∠AOC＝α，∠COE＝β，∠EOB＝∠3。
α＋β＋∠3＝90°。
∠3＝90°−α−β。
这里每一步都在同一个角内按相邻部分相加；没有把不同正方形重叠的角度重复算进去。
用数值核对，再改变一个条件
检查1：按原图次序，α＝30°、β＝20°时，∠3是多少？先说出中间∠COE为什么等于20°。
展开30°与20°的检查
∠COE＝∠DOF＝20°，所以∠3＝90°−30°−20°＝40°。相加核对30°＋20°＋40°＝90°，与固定直角AOB一致。
α＝30°，β＝20°。
角3实际大小：40°。OE仍在∠AOB内部。
检查2：保持刚才三个正方形在O的各边方向，只把另两个正方形的边长改成不同大小。∠3会变吗？
展开只改变边长的判断
不会。各自仍为90°，共同∠EOD与各边方向都保持，所以等角对应和相邻三块的和不变，∠3仍为40°。这是对条件作用的检查；原题给的“同样大小”仍如实保留。
α＝30°，β＝20°。
角3实际大小：40°。OE仍在∠AOB内部。
检查3：能把α、β任意改大，例如改成60°、40°，还声称保持原图的位置并把−10°作为角3吗？
展开原图位置的范围
不能。原图中OA到OC为α，OC到OE为β，而OE还在90°的∠AOB里面，所以α＋β必须小于90°。60°＋40°已经是100°，OE会越过OB，原图的次序失效。负数不是此时的角度；应先重新判断图的位置关系，不能照搬旧式。
中考真题配套
近五年直接对应重叠直角、共同余角与正方形拼角的中考原卷题尚未核实，配套暂缺。