第11题 · 双动点：补回已走路程，再把Q的位置找全
1秒后，剩余PN是AM的3倍，已走NB也是MP的3倍，分别补回得PB＝3AP，所以AP＝3 cm。任一合法时刻同样推得AP不变。Q在整条直线上，PQ有6 cm和12 cm两解；分界点与终点的0÷0都单独核对。
题目
- 如图4-7，P是线段AB上一点，AB＝12 cm，M、N两点分别从点P、B出发，分别以1 cm/s、3 cm/s的速度同时向左运动（点M在线段AP上，点N在线段BP上），运动时间为t s。
（1）当点M、N运动1 s，且PN＝3AM时，求AP的长度。
（2）当点M、N运动到任一时刻时，总有PN＝3AM，AP的长度是否发生变化？若不变，请求出AP的长度；若变化，请说明理由。
（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ＝PQ＋BQ，求PQ的长度。
第（2）问不是只让你把第（1）问的3 cm代回一次。它要求在任一运动时刻都有PN＝3AM，问据此求出的AP会不会改变。第（3）问承接的是第（2）问。
需要的关系只有两条：已走路程＝速度×时间；沿点序首尾相接的两段，长度相加得到全段。先用这些关系说明，再在折叠部分给出列式核对。
第（1）问：1秒后，两组“三倍”一起补回
1秒内，M走了MP＝1 cm，N走了NB＝3 cm，所以NB＝3MP。它们都向左，图中点序使AP＝AM＋MP、PB＝PN＋NB。
均向左：M速度1 cm/s；N速度3 cm/s。
t＝1 s；共同合法时段为0至3 s。
AP＝AM＋MP：3＝2＋1 cm。
PB＝PN＋NB：9＝6＋3 cm。
PN与3AM：6 ＝ 6 cm。PN÷AM ＝ 3。
M为实心圆点，N为空心圆点，都在AB这条线上。空心虚线轮廓只标出发位置，虚线是已走路程，箭头表示向左的方向；这些参照标记不是新增动点。带≈的数是显示近似值。
已知PN＝3AM，又有NB＝3MP。把“剩余”和“已走”分别相加：
因此AP占1份，PB占同样大小的3份，全段AB共有4份。AP＝12÷4＝3 cm，PB＝9 cm。
检验时回到题给的1秒：AM＝3−1＝2 cm，PN＝9−3＝6 cm，确有6＝3×2。两点仍分别在AP、BP上。
第（2）问：任一合法时刻，AP都不变
不先指定t为某个数。经过t s，MP＝t cm、NB＝3t cm，所以仍有NB＝3MP。结合本问要求的PN＝3AM，和上一问一样补回：
AB一直是12 cm，仍由1份AP和3份AP组成，因此AP不随所取时刻变化，始终是3 cm。
反过来核对：AP＝3、PB＝9时，同一时刻剩下AM＝3−t、PN＝9−3t＝3(3−t)，所以等式在整个共同合法时段都成立。
展开可选列式：看清为什么t消掉
设AP＝x cm，则PB＝12−x。合法运动中AM＝x−t、PN＝12−x−3t。
两边同有−3t，所以所取时刻不影响x。仅把一个时刻代回，只能核对那个时刻；这里的补回理由或一般式才说明任一合法时刻都如此。
第（3）问：先让Q在P、B之间
由第（2）问，AP＝3 cm、PB＝9 cm。Q在P、B之间时，PQ与BQ首尾相接，PQ＋BQ＝PB＝9 cm。
原条件要求AQ也等于9 cm。从A向右9 cm的位置确实在P与B之间，所以PQ＝AQ−AP＝9−3＝6 cm。
AQ＝9 cm，PQ＝6 cm，BQ＝3 cm。
AQ ＝ PQ＋BQ；这是本条件的一处解。
再让Q在B右侧
此时AQ＝AB＋BQ＝12＋BQ，PQ＝PB＋BQ＝9＋BQ。代入原条件：
因此PQ＝9＋3＝12 cm。这处Q确实在B右侧；代回AQ＝15、PQ＋BQ＝12＋3＝15。
AQ＝15 cm，PQ＝12 cm，BQ＝3 cm。
AQ ＝ PQ＋BQ；这是本条件的一处解。
左侧区域与分界点也要查
- Q在A左侧或与A重合：BQ＝AB＋AQ，已经比AQ长；再加PQ更不可能等于AQ。
- Q在A、P之间并包含P：AQ≤3，而BQ≥9，右边至少已有9，大于左边。
- Q与B重合：AQ＝12，PQ＋BQ＝9＋0＝9，不相等。
这样整条直线都检查到了，得到PQ＝6 cm或12 cm，没有漏掉A、P、B三个分界点。
自编检查：改条件后，哪条理由还成立
检查一： 只把N的速度改成2 cm/s，仍要求t＝1时PN＝3AM，AP应是多少？选定这个AP以后，关系是否任一时刻都成立？
展开重新求AP与第二时刻核对
设AP＝x，1秒后AM＝x−1，PN＝12−x−2＝10−x。由10−x＝3(x−1)，得13＝4x，因此AP＝13/4＝3.25 cm。
t＝1时AM＝2.25、PN＝6.75，确有三倍。t＝2仍在合法时段，但AM＝1.25、PN＝4.75，而3AM＝3.75，不相等。
速度不再是3倍，补回的两段不再是3倍，所以一次成立不能推出全程成立。
均向左：M速度1 cm/s；N速度2 cm/s。
t＝2 s；共同合法时段为0至3.25 s。
AP＝AM＋MP：3.25＝1.25＋2 cm。
PB＝PN＋NB：8.75＝4.75＋4 cm。
PN与3AM：4.75 ≠ 3.75 cm。PN÷AM 约为 3.8。
M为实心圆点，N为空心圆点，都在AB这条线上。空心虚线轮廓只标出发位置，虚线是已走路程，箭头表示向左的方向；这些参照标记不是新增动点。带≈的数是显示近似值。
检查二： 单独改变第（3）问：AB仍为12 cm，但AP改为7 cm，其余仍为AQ＝PQ＋BQ。还能用“Q在A、P之间没有解”吗？
展开新的区域与两处解
不能照搬。现在PB＝5 cm。Q在A、P之间时，设AQ＝y，则PQ＝7−y、BQ＝12−y。原条件成为y＝19−2y，得到AQ＝19/3 cm，它确实在0与7之间，PQ＝7−19/3＝2/3 cm。
B右侧仍有BQ＝7 cm，因此AQ＝19、PQ＝12、BQ＝7，19＝12＋7。这里两处PQ为2/3 cm与12 cm。
AQ＝≈6.33 cm，PQ＝≈0.67 cm，BQ＝≈5.67 cm。
AQ ＝ PQ＋BQ；这是本条件的一处解。
改条件示意：AB＝12、AP＝7。左边的一处解在A、P之间；精确分数见对应解析。
相关中考原题：动点位置与距离分类
这道原题直接检查“速度×时间决定位置”和“相遇或越过原点后重新判断距离”。它不是PN＝3AM这条结论的原题；读数轴前先认清正负方向，距离始终是非负的长度。
（2024·山东威海·第21题，9分）定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a−b（a≥b）。特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a−0。当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0−a。
应用
如图，在数轴上，动点A从表示−3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动。同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动。
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值。
展开两问答案与按位置分类的理由
（1）4秒或6秒。初始相距15，每秒相向靠近1＋2＝3；相遇前距离为3，需要靠近12，时间12÷3＝4秒。相遇用15÷3＝5秒，相遇后再过1秒又相距3，得到6秒。
也可用数轴位置核对：t秒时A表示t−3，B表示12−2t，两位置之差为15−3t。距离为3时，两种点序分别给15−3t＝3或15−3t＝−3，得到t＝4或6。题目没有规定相遇即停止，不能漏掉相遇后的解。
（2）最小值为3，出现在t＝6。0≤t≤3时，A在原点左侧，B在右侧，到原点的距离和为15−3t，最小到6。3≤t≤6时，两点都在原点右侧，距离和为9−t，下降到3。t≥6时，B已到原点左侧，距离和为3t−15，从3开始增大。
t＝6时A表示3，B恰在原点，距离和3＋0＝3，确实取得最小值。这里既核对了表达式的适用区域，也核对了分界时刻。
出处：2024年威海市中考数学完整试卷文本复刻，第21题。完整定义、应用题干与两问已核验；原题数轴另与完整试卷的第21题配图逐项核对，图按题意重绘。答案默认折叠。
