第6题 · 从公共端点C画两类位置，再求两个中点的距离

题目

6. 已知线段AC和BC在同一直线上，如果AC＝5.6 cm，BC＝2.4 cm，那么线段AC和BC的中点之间的距离为______cm。

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按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。

1. 先从共同端点C画两类位置

原题的两条线段共用点大写 C，但没有说它们伸向哪一侧。把线段大写 A 大写 C 的中点记为大写 M，把线段大写 B 大写 C 的中点记为大写 N。先固定大写 C，再画大写 A、大写 B 在它同侧和异侧的两种图，求的是大写 M 到大写 N 的距离。

1先从共同端点C画两类位置2中点分别给出2.8与1.23同侧：从MC扣去NC4异侧：MC与CN首尾相接5为什么两类就已经找全6长短颠倒，先判断哪段更长

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答案：两个中点之间相距1.6 cm或4 cm。 关键是先判断两条线段从C伸向同侧，还是分别伸向两侧。

原题没有配图，也没有给两个中点命名。下面把AC的中点记为M，把BC的中点记为N；M、N是讲解添加的标记，所求就是MN。

只需先会两件事：中点把线段分成相等的两段；相邻的两段合成全段。

第一步：固定共同端点C，画全两类位置

AC和BC都以C为一个端点。先画一条直线，把C标在上面，再从C量出AC＝5.6 cm。

BC＝2.4 cm，但题目没有说B在C的哪一侧。因此B可以和A在C的同侧，也可以在另一侧。

两张图表示两种可能，C、A的位置和比例尺保持相同；每张图里只有一个B。把整张图左右翻过来，各段长度不会改变，因此不会多出一种距离。

同侧：MC里面含有MN和NC

A、B在C的同侧。AC＝5.6 cm比BC＝2.4 cm长，所以B在A、C之间。

M平分AC，MC＝5.6÷2＝2.8 cm。N平分BC，NC＝2.4÷2＝1.2 cm。

M、N仍在C的同侧，而且MC比NC长。因此N在M、C之间：从M到C，先经过N，再走到C。

MC由MN和NC组成。已知全段MC与其中的NC，求剩下的MN，应该相减。

$$\begin{aligned}MC&=MN+NC,\\MN&=MC-NC\\&=2.8-1.2\\&=\boxed{1.6\text{ cm}}.\end{aligned}$$

本题完整点序为A—M—B—N—C。这些位置须由各段长度和中点定义确定，不能只看B在A、C之间，就凭图添加别的重合或等长条件。

异侧：从M到N正好经过C

A、B分别在C的两侧。这时M在线段AC上，N在线段BC上，所以M、N也分居C的两侧。

两个中点条件没有变，MC仍为2.8 cm，CN仍为1.2 cm。从M到N经过C，两段首尾相接。

$$\begin{aligned}MN&=MC+CN\\&=2.8+1.2\\&=\boxed{4\text{ cm}}.\end{aligned}$$

反查：同侧时1.6＋1.2＝2.8，确实还原MC；异侧时2.8＋1.2＝4，确实连接M、C、N。两种图都满足AC＝5.6 cm、BC＝2.4 cm及两个中点条件。

选读：为什么也可以先求AB，再取一半

本题同侧时AB＝AC−BC＝3.2 cm，MN＝（AC−BC）÷2＝AB÷2＝1.6 cm。

异侧时AB＝AC＋BC＝8 cm，MN＝（AC＋BC）÷2＝AB÷2＝4 cm。

一般同侧时，要用较长的整段减较短的整段；异侧时求和。两个中点都取一半，所以相应的中点距离也是AB的一半。这是按线段关系得到的理由，不是只核对两个数值就认定规律。

自测：把长短关系倒过来

改为AC＝3 cm、BC＝5 cm，仍在同一直线上，M、N仍分别为AC、BC的中点。两个中点之间可能相距多少？请先说明同侧时哪条半段更长。

展开两类位置与理由

MC＝1.5 cm，NC＝2.5 cm。同侧时，M在N、C之间，应从NC中扣去MC，MN＝2.5−1.5＝1 cm。

异侧时两半段相接，MN＝1.5＋2.5＝4 cm。

长短颠倒后，同侧时相减的顺序改变；异侧时相加的关系保留。

再检查边界：AC和BC都等于6 cm时呢

若要求A、B是不同的点，只有6 cm。从C沿同一侧量同样的6 cm，只会到达同一个位置，不能得到两个不同的端点。因此A、B只能在C的两侧，MC＝CN＝3 cm，MN＝6 cm。

若允许A、B重合，还可以为0。同侧等距时A、B是同一点，两个中点也重合，M＝N。这种情况不能说“A严格夹在B、C之间”或“B严格夹在A、C之间”。

原题两段长度不相等，A、B自然不会重合；这个边界检查是在改变条件。

真题回查：中点怎样给出一半与全段

这道已核验原卷题检查本课实际用到的中点定义和线段相加关系；两类位置的分类理由仍看正文。

（2022·广西桂林·第12题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝______cm．

展开真题答案与理由

4 cm。C是AB的中点，所以AC＝CB＝2 cm；AB＝AC＋CB＝2＋2＝4 cm。

这题由一半求全段，本课则由整段求一半。完整原题只检查这些关系，没有要求同侧、异侧两解。

出处：2022年桂林市中考数学完整原卷文本复刻，第3页第12题。题干和图已逐项核验；图按题意重绘。直接考查同侧、异侧两解的近五年中考原卷题仍未核实，保留这项配套缺口。