第5题 · 沿AE翻折后，90°里有哪5份相同的小角

题目

5. 如图4-3，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC内部。若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝15°，则∠DAE的度数为________。

答案：∠DAE＝39°。先说明折痕两侧为什么等角，再把90°里的相同小角数成5份。主解不要求先会解一元一次方程；把一份记作x只是便于指认，后面另给方程核对。

先看同一纸角如何沿AE翻起并落平，再按步骤核对等角与份数。可旋转、缩放、恢复视角；需要读落平后的角时，选择“俯视看落平”。斜视下的屏幕投影不能直接当作真实角度来量。

折叠先给哪一个等量关系

原图里D与D′是折前、折后同一个纸角顶点的位置。D′读作“D撇”，是对应点的名字。折痕AE上的A、E不动，三角形ADE绕这条线翻起并落平，得到三角形AD′E。

折叠保持边长和角度。尤其在A处，折前AD与AE的角，等于折后AE与AD′的角：

$$\angle DAE=\angle EAD^{\prime}.$$

所以AE平分的是AD与AD′夹成的∠DAD′。不能只记“见折叠就说平分”，要指出具体的两条对应边与折痕。

从AB出发，按原图排好射线

D′在∠BAC内部，因此从AB向AD这一侧转动，依次经过：

AB → AD′ → AC → AE → AD。

长方形的∠DAB＝90°，它分成四块：∠BAD′、∠D′AC、∠CAE、∠EAD。这里∠D′AC与题给∠CAD′是同一个15°的角。

把∠BAD′看作一份，记它的大小为小写x。则∠CAE为两份，也就是2x；∠EAD′跨过AC，所以它是两份加15°。

折叠又说明∠DAE与∠EAD′相等，因此所求∠DAE同样是两份加15°。

∠EAD′：2份＋15°。

∠DAE＝∠EAD′，也有2份＋15°。

一份指∠BAD′的大小，可以记作x。

在90°里面数出5份与两处15°

把四个相邻角依次写成：

相邻部分	按份数表示
∠BAD′	1份
∠D′AC	15°
∠CAE	2份
∠EAD	2份＋15°

所以90°里有1＋2＋2＝5份，另有两处15°。第一处是已知∠CAD′；第二处来自“所求半角等于两份加15°”，不是说原图又给了一个独立的15°条件。

先扣掉两处15°，剩下60°是5份的总量：

$$90^\circ-15^\circ-15^\circ=60^\circ.$$

每份为：

$$60^\circ\div5=12^\circ.$$

这先求出的是∠BAD′＝12°，还要回到题目所求。∠DAE是两份加15°，因此：

$$2\times12^\circ+15^\circ=39^\circ.$$

把所有条件同时代回

∠BAD′＝12°，∠DAE＝39°。

∠CAE＝24°，∠CAD′＝15°。

∠DAE＝∠EAD′＝39°。

• ∠BAD′＝12°，∠CAD′＝15°，所以∠BAC＝27°；12°在0°与27°之间，D′确实位于∠BAC内部。
• ∠CAE＝24°，恰好是12°的2倍。
• ∠BAE＝12°＋15°＋24°＝51°，∠DAE＝90°−51°＝39°。
• ∠EAD′＝24°＋15°＝39°，折痕两半相等。

已学方程时，用同一关系核对

展开两个半角表达式与一元一次方程

设∠BAD′＝x，第一条路是∠EAD′＝2x＋15°；第二条路是∠DAE＝90°−(x＋15°＋2x)＝75°−3x。两个角相等，所以：

$$75^\circ-3x=2x+15^\circ.$$$$60^\circ=5x,\qquad x=12^\circ.$$

代回2x＋15°得39°。这与“5份加30°组成90°”是同一关系的另一种写法，不是另一套题目条件。

改一个已知角，先预测再核对

把∠CAD′从15°改为10°，仍保留长方形、折叠、D′在∠BAC内部及∠CAE＝2∠BAD′。先判断：相等的份数仍是5份吗，固定扣去的两部分各是多少？

展开10°新条件的结果

仍有5份，但两处固定角各10°。5份合计90°−10°−10°＝70°，每份14°，所以∠DAE＝2×14°＋10°＝38°。

∠BAD′＝14°，∠DAE＝38°。

∠CAE＝28°，∠CAD′＝10°。

∠DAE＝∠EAD′＝38°。

方程核对为80°−3x＝2x＋10°，同样得到x＝14°。换数据后示意图的宽高比也随满足新条件的角关系改变；它表示新题中的另一张纸片，不是同一张纸在翻折中被拉伸。

中考真题配套

近五年直接对应矩形折叠、折痕两侧等角与角度计算的中考原卷题尚未核实，配套暂缺。