第5题 · 四个整式计算：逐项去括号，再合并同类项
忠实完成原照四小题：分数系数先通分；减去括号等于乘−1；外面乘数不漏常数项；x²y与xy²总次数相同也不能合并。逐项显示原项、乘数和乘积，再按相同字母指数分组。
题目
计算：
- −a+b+(−1/2)a+(1/2)b；
- 2x−(x−y)+2×(x+y)；
- −3×(2x²−xy)+4×(x²+xy−6)；
- 3×(2x²y−xy²)−(4xy²+3x²y)；
答案：（1）−(3/2)a+(3/2)b；（2）3x+3y；（3）−2x²+7xy−24；（4）3x²y−7xy²。
这课要能做到：给每个原项保留符号，把括号外的乘数分配到每一项，并解释为什么有些项可以合并、有些不能。需要会正负数相乘、分数通分，并知道同类项要逐个字母核对指数；可以先复查第2题的同类项规则。本题只要求计算，没有给字母的取值。
第一小题：先带着符号分组，再通分
没有括号，先把a项与b项分开。−a的系数是−1，b的系数是1，不能因为没有写数字就把它们漏掉。
a项：−a−(1/2)a=[−1−(1/2)]a=−(3/2)a。
b项：b+(1/2)b=[1+(1/2)]b=(3/2)b。
这里−1=−2/2，1=2/2。先把整数与分数写成同分母，再相加减。
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：a（字母及指数相同）
提取相同部分：(−1−1/2)×a
先通分：−2/2−1/2
第2组：b（字母及指数相同）
提取相同部分：(1+1/2)×b
先通分：2/2+1/2
合并结果：(−3/2)a+(3/2)b
为什么可以只计算系数？分配律反过来用，就是pa+qa=(p+q)a。a是相同的乘数，不会因为相加而变成a²；同理，b项也保留b。
所以结果是−(3/2)a+(3/2)b。a与b不同，最后仍然保留两项。
第二小题：减去整个括号，两项都乘−1
−(x−y)=(−1)×x+(−1)×(−y)=−x+y。
这里“−y”可以看作系数−1乘y，外面的−1再乘这个−1，得到系数+1。不是把两个不同位置的减号直接删掉，而是用了负数乘负数得正数。
后面的2也分别乘两项：2(x+y)=2x+2y。最前面的2x独立在括号外，原样保留。
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：1×(2x)
这一组：−1×(x−y)
这一组：2×(x+y)
2x−x+y+2x+2y
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：x（字母及指数相同）
提取相同部分：(2−1+2)×x
第2组：y（字母及指数相同）
提取相同部分：(1+2)×y
合并结果：3x+3y
去括号后：2x−x+y+2x+2y。
按同类项分组：x项的系数为2−1+2=3；y项的系数为1+2=3。
所以结果是3x+3y。
第三小题：常数−6也在括号内，不能漏乘
看到−3和4各在一个括号外，先把两组乘法分别写完：
−3(2x²−xy)=−6x²+3xy。
4(x²+xy−6)=4x²+4xy−24。
−3乘−xy得到+3xy；4乘−6得到−24。符号是每次乘法算出来的，不能凭“括号前有负号”就把所有乘积都写成负数。
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：−3×(2x²−xy)
这一组：4×(x²+xy−6)
−6x²+3xy+4x²+4xy−24
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：x²（字母及指数相同）
提取相同部分：(−6+4)×x²
第2组：xy（字母及指数相同）
提取相同部分：(3+4)×xy
第3组：常数
提取相同部分：(−24)
合并结果：−2x²+7xy−24
去括号后：−6x²+3xy+4x²+4xy−24。
平方项：−6x²+4x²=(−6+4)x²=−2x²。
乘积项：3xy+4xy=(3+4)xy=7xy。
常数项只有−24，单独保留。因此结果是−2x²+7xy−24。
第四小题：x²y与xy²不能只比总次数
先把两种字母部分认清：x²y里x的指数是2、y的指数是1；xy²里则分别是1、2。虽然总次数都是3，每个字母对应的指数不同，所以不是同类项。
先逐项相乘：
3(2x²y−xy²)=6x²y−3xy²。
−(4xy²+3x²y)=−4xy²−3x²y。
总次数都是3，仍要逐个字母比较：
| 字母部分 | x的指数 | y的指数 | 总次数 |
|---|---|---|---|
| x²y | 2 | 1 | 3 |
| xy² | 1 | 2 | 3 |
x²y与xy²不是同类项，不能合成一项。
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：3×(2x²y−xy²)
这一组：−1×(4xy²+3x²y)
6x²y−3xy²−4xy²−3x²y
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：x²y（字母及指数相同）
提取相同部分：(6−3)×x²y
第2组：xy²（字母及指数相同）
提取相同部分：(−3−4)×xy²
合并结果：3x²y−7xy²
再分组：6x²y−3x²y=3x²y；−3xy²−4xy²=−7xy²。
所以结果是3x²y−7xy²，不能再把这两项合成一项。
为什么这些改写对所有允许的字母取值都成立
每次去括号都来自分配律k(U+V)=kU+kV；有三项时，同样每项都乘k。减法可以写成加上相反数，因此−(U−V)=−U+V。
合并同类项则反过来用分配律pM+qM=(p+q)M。只有同一种字母乘积M，才能这样合并。这些运算性质是一般理由；代几个数字只用于核对有没有抄漏或算错。
例如第三小题取x=2、y=1，原式为−3(8−2)+4(4+2−6)=−18；化简式为−8+14−24=−18，两边相同。一个数值例子不能代替上面的恒等改写。
先预测，再展开核对
把第二小题的第一个括号改为x+y，得到2x−(x+y)+2(x+y)。和原题比，哪次乘法的结果改变？最后结果是什么？
展开答案与理由
改变的是(−1)×y。原来括号里是−y，乘−1得到+y；现在是+y，乘−1得到−y。
所以新式=2x−x−y+2x+2y=3x+y。x项不变，y项的系数从1+2=3变为−1+2=1。方法保留，但必须按新条件重新计算符号。
再判断：3(x²y−xy²)能不能直接写成0？
展开判断与反例
不能。分配后是3x²y−3xy²，这两项不是同类项。取x=2、y=1时，它等于12−6=6，并不是0。少量数值可以反驳“恒等于0”，一般的不能合并理由仍是逐个字母的指数不相同。
近五年中考真题：同样先去括号，再合并
2022·湖北黄冈·第17题。这道题直接用到括号前的减号与同类项合并，不需要乘法公式。按原卷可信文本完整收录，包含给定取值；没有选项或附图。
先化简，再求值：4xy−2xy−(−3xy)，其中x=2，y=−1。
展开真题答案与解析
−(−3xy)=+3xy。原式=4xy−2xy+3xy=(4−2+3)xy=5xy。
再代x=2、y=−1：5×2×(−1)=−10。三个字母部分都是xy，合并时只加系数；减去负的整项先转成加，最后代入负数时加括号。
出处：2022年湖北省黄冈市中考数学试卷（word版、无答案），第17题。已逐字核对题号、完整算式与x、y取值；该题没有图。
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