第11题 · 关于1的平衡数：先看两数之和
按定义检查a+b是否为2。第（1）问填−2、x−1；第（2）问分别处理两层括号，字母项相消后a+b=6，所以不符合定义。换一个常数检查负号的作用。
题目
定义：若a+b=2，则称a与b是关于1的平衡数。
（1）4与________是关于1的平衡数，3−x与________是关于1的平衡数（第二个空用含x的代数式表示）。
（2）若a=2x²−3(x²+x)+4，b=2x−[3x−(4x+x²)−2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由。
答案：（1）−2，x−1；（2）不是，因为a+b=6≠2。
先把“关于1的平衡数”读成这道题给出的条件：a+b=2。缺一个数，就用2减已知数；判断一对数，就把它们相加。
这课要能做到：按定义填空，解释每一层括号的负号怎样作用，并用化简说明两数之和是否随x改变。需要会有理数加减、分配律与合并同类项。
第一空：用2减去4
两数之和要等于2，已知其中一个数是4，另一个就是2−4=−2。
代回核对：4+(−2)=2，符合定义。下面数轴只是辅助理解：4与−2在1的两边，离1都是3。
总和2减去已知的4：2−(4)=−2。
核对：4+(−2)=2。
第二空：把3−x作为一个整体减去
已知数是3−x，另一个数=2−(3−x)。括号表示减去整个已知数。
为什么要加括号？若直接写2−3−x，减去的就变成了3和x，没有减去原来的“3−x”。
把已知数3−x整体减去：2−(3−x)。
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：1×(2)
这一组：−1×(3−x)
2−3+x
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：常数
提取相同部分：(2−3)
第2组：x（字母及指数相同）
提取相同部分：(1)×x
合并结果：−1+x
整理：2−3+x=x−1。
代回：(3−x)+(x−1)=2。x项相消。
2−(3−x)=2−3+x=−1+x=x−1。
代回核对：(3−x)+(x−1)=3−1−x+x=2。x项相消，所以任意x都符合这次填空的要求。
第二问：先化简a，再分层处理b
题目没有给x的值。先分别去括号、合并同类项，再求a+b，可以直接看出结果是否为2。
a中，−3要乘到x²和x
a=2x²−3(x²+x)+4。括号外的2x²和+4保留，−3分别乘x²和x：
a=2x²−3×(x²+x)+4
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：1×(2x²)
这一组：−3×(x²+x)
这一组：1×(4)
2x²−3x²−3x+4
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：x²（字母及指数相同）
提取相同部分：(2−3)×x²
第2组：x（字母及指数相同）
提取相同部分：(−3)×x
第3组：常数
提取相同部分：(4)
合并结果：−x²−3x+4
a=−x²−3x+4。
a=2x²−3x²−3x+4=−x²−3x+4。
b中，先展开小括号
b=2x−[3x−(4x+x²)−2]。先只看中括号里面，减去(4x+x²)，相当于每项乘−1。
b=2x−[3x−(4x+x²)−2]；这一步先算中括号里面。
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：1×(3x)
这一组：−1×(4x+x²)
这一组：1×(−2)
3x−4x−x²−2
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：x（字母及指数相同）
提取相同部分：(3−4)×x
第2组：x²（字母及指数相同）
提取相同部分：(−1)×x²
第3组：常数
提取相同部分：(−2)
合并结果：−x−x²−2
中括号内=−x−x²−2。
中括号内=3x−4x−x²−2=−x−x²−2。最后的−2本来就在中括号里，这一步仍要保留。
再让外面的−1乘到中括号每一项
现在b=2x−(−x−x²−2)。外面的−1分别乘−x、−x²和−2：
b=2x−(−x−x²−2)；这一步处理外面的−1。
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：1×(2x)
这一组：−1×(−x−x²−2)
2x+x+x²+2
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：x（字母及指数相同）
提取相同部分：(2+1)×x
第2组：x²（字母及指数相同）
提取相同部分：(1)×x²
第3组：常数
提取相同部分：(2)
合并结果：3x+x²+2
b=3x+x²+2。
b=2x+x+x²+2=3x+x²+2。
把a与b相加，和为6
a+b=(−x²−3x+4)+(3x+x²+2)。把同类项带着符号放在一起：
a=−x²−3x+4；b=3x+x²+2。
目标：a+b是否等于2？
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：x²（字母及指数相同）
提取相同部分：(−1+1)×x²
第2组：x（字母及指数相同）
提取相同部分：(−3+3)×x
第3组：常数
提取相同部分：(4+2)
合并结果：6
a+b=6，不等于2。
与目标的差：（a+b）−2=4。字母项都已相消，结果不随x改变。
平方项−x²+x²=0，x项−3x+3x=0，常数项4+2=6。
a+b=6≠2，所以它们不是关于1的平衡数。x的项已经全部相消，这说明任意x的结果都一样，不需要逐个试x。
也可以取x=0核对计算：a=4、b=2，和为6。这个例子能核对原结论；“任意x都这样”的理由仍是上面字母项全部相消。
换一个符号，检查是否看懂
保留a=2x²−3(x²+x)+4，只把b中括号内最后的−2改成+2：
b=2x−[3x−(4x+x²)+2]。先判断：这时a+b是多少？还能沿用“和为6”的结论吗？
展开核对与理由
中括号内改为−x−x²+2。外面的−1乘到+2，得到−2，所以b=3x+x²−2。
与a相加，字母项仍相消，常数变成4−2=2。这次符合定义。改变的是b的常数项，从+2变成−2，和因此减少4。
下次遇到新定义，先找它给出的数学条件。缺一个数就倒着找；判断是否满足条件，就按定义计算并核对。每层括号中的符号都要有交代。
相关中考真题：去括号后再合并
把新名称翻译成条件后，本题用到的计算仍是去括号与合并同类项。下面这道题重点练习“减去一个负项”的符号。
2022·湖北黄冈·第17题
先化简，再求值：4xy−2xy−(−3xy)，其中x=2，y=−1。
展开答案与理由
原式=4xy−2xy+3xy=(4−2+3)xy=5xy。
当x=2，y=−1时，值为5×2×(−1)=−10。减去−3xy得到+3xy，字母x与y的指数保留。
出处：2022年黄冈中考数学原卷文档预览。题号、完整算式与给定值已按原卷逐项核验；原题没有选项或附图。