第10题 · 整式这一章：知识之间为什么能连线
开放整理任务：用“表示、认识、计算、应用”组织第三章知识，再用例子说明连线理由。参考图不是唯一答案；换一个符号检查知识联系是否仍成立。
题目
梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴交流。
这是一道开放整理题，没有唯一的知识图，也没有一个待求的数值。下面给出第三章“整式及其加减”的一份参考结构，画法和分组可以不同。
这课要能做到：在纸上整理本章知识，选一条连线解释为什么相连，用一个例子说明，再判断换条件后哪些关系保留。需要复习用字母表示数、整式的概念、去括号、同类项与代入求值；不熟的内容可以回看本专题前面的对应题。
第一步：写章名，再把学过的内容摆出来
在纸上写“整式及其加减”。翻看本章目录、笔记和例题，把“代数式、整式的加减、探索与表达规律、归纳”等内容列在旁边。
为什么先这样做？原题要整理全章，先列内容能帮助检查遗漏。接着问：这些知识分别帮助我表示什么、认识什么、计算什么、解决什么问题？
一份参考结构：表示、认识、计算、应用
第三章 · 整式及其加减
怎样表示？
用字母列代数式
先说数量关系，再按关系写式子。数与字母相乘，数通常写在前面。
求代数式的值
给定字母值后对应替换，再按运算顺序计算。代入负数时，整体加括号。
怎样认识？
辨认整式
单项式与多项式统称整式。单独的数和字母也可以是单项式。
读项、系数与次数
项连同符号一起读；系数是数字因数。单项式次数看字母指数和，多项式次数看最高项。
判断同类项
所含字母及各字母对应的指数分别相同。总次数相同还不够。
怎样计算？
去括号
按分配律乘到每一项，常数也不漏。括号前的减号表示每项乘−1。
合并同类项
把分配律反过来用：只合并系数，字母与相应指数保留。
怎样应用？
解决实际问题
指出每个量的含义，找数量关系。算完回题意核对数值和单位。
探索与表达规律、归纳
先找具体的变化与不变，例子帮助猜想，再用生成方式说明一般关系。
把分组接成联系：下列连线可跨分支。箭头读作“因为这个关系，可以接着查那个知识”。
- 解决实际问题 → 用字母列代数式
先把已知量与所求之间的数量关系写成式子。 - 探索与表达规律、归纳 → 用字母列代数式
用项号表示数量，式子要能对应图形怎样生成。 - 用字母列代数式 → 辨认整式
在代数式中辨认常用的整式，不把所有代数式都当成整式。 - 用字母列代数式 → 求代数式的值
需要数值且给定字母值时，代入求值。 - 辨认整式 → 读项、系数与次数
按每一项的数字因数与字母指数来读。 - 读项、系数与次数 → 判断同类项
逐个字母核对对应指数，决定哪些项属于同一类。 - 去括号 → 读项、系数与次数
展开后把每一项连同符号写清楚。 - 判断同类项 → 合并同类项
把分配律反过来用，系数相加，字母和相应指数保留。 - 合并同类项 → 求代数式的值
化简是等值整理；给定字母值后，再按运算顺序求值。
用例子讲通连线，图就有了用处
下列都是自编示例，用于说明知识联系。原题没有给这些算式或数值，不要求把这些例子照搬进自己的图。
实际关系 → 列代数式 → 求值
每本笔记本a元，买3本，付20元。因为“找零=付的钱−花去的钱”，先列20−3a；给定a=4后，才能算出找零8元。
列式说明数量关系，求值回答给定条件下的数值问题。这两件事有联系，也有区别。单价按能付清货款的范围取值。
读项、系数与次数 → 判断同类项
自编示例，用来说明知识联系：a²b与ab²总次数相同，能合并吗？先说明依据。
a²b 与 ab²
连接理由：逐个字母核对对应指数，决定哪些项属于同一类。
a²b与ab²总次数都是3，各字母对应指数却不同，不是同类项，不能合并。
这条连线不是“次数相同就能合并”。a²b与ab²的总次数都是3，可是a、b各自的指数不同，不能合并。核对的是每个字母对应的指数。
去括号 → 读带号项 → 判断并合并同类项 → 求值
为什么先去括号？要看清有哪些可以合并的项，先把每一项连同符号写出来。减去整个括号，相当于其中每一项都乘−1，常数也不例外。
自编示例，用来说明知识联系：先说准备查哪些知识，再化简并代x=2求值。
(2x−3)−(x+4)，x=2
连接理由：展开后把每一项连同符号写清楚。
去括号：2x−3−x−4。
合并同类项：2x−x=x；−3−4=−7。
原式=x−7。
原式=x−7；x=2时，值为−5。
2x−x=(2−1)x=x，这一步把分配律反过来用。−3−4=−7，所以原式化简为x−7。给定x=2后才得到−5；x−7是等值的化简式，−5只对应x=2。
在图上可以把“合并同类项”接到“求值”，但并不是每个化简任务都需要求值：还要看题目是否要求、是否给出字母值。
图形生成方式 → 一般式 → 代入核对
自编示例，用来说明知识联系：每幅都有中心1枚、四条臂各n枚。先指出哪些量相加，再算n=3。
已知生成方式：中心1枚，4条臂各n枚。n为正整数。
连接理由：用项号表示数量，式子要能对应图形怎样生成。
总数=4×n+1=4n+1。四条臂不重叠，中心另计一次。
n=3时，总数为13枚，与图中13枚相符。一般式来自给定摆法，不能只凭几个数认定规律唯一。
这里明确给定：每幅有中心1枚、四条臂各n枚，n同时表示图号与每条臂的枚数。因此总数为4n+1。
这不是从几个数字就断定下一项。列小例子帮助发现猜想；一般关系还要回到生成方式说明。若题目只给少数项，没有指定规则，就不能声称继续方式唯一。
与同伴交流：解释一条连接，再换条件
先独立整理，再选一条连线给同伴看。说清两个知识点、它们的关系和一个例子。请同伴换一个条件，判断原来的理由还是否成立。
理解检查：把（2x−3）−（x+4）中的减号改成加号，仍取x=2。还会用到去括号、同类项和求值吗？哪一步的符号要改变？
展开核对与理由
这些知识仍适用。后一个括号前从−1变成+1，x与4都乘+1，展开为2x−3+x+4。
合并得到3x+1，代x=2得7。原来减去括号得到x−7和值−5，现在得到3x+1和值7。方法联系保留，乘数、带号项和结果要重新核对。
自查时，看看本章的重要内容是否都能在图里找到位置，连线理由是否正确，例子是否真能说明关系。分支数量和位置不必与参考图一样。
相关中考真题：用原题检查知识联系
下面分别检查概念、运算与规律表达。可先在自己的图里指出会用到的知识，再做题。它们各有确定条件，与上面的开放整理任务不同。
2023·江西·第7题：认识单项式的系数
单项式 −5ab 的系数为________。
展开答案与理由
系数为−5。数字因数带着负号一起读，a与b是字母部分。可把此题接到“辨认整式→读项、系数与次数”。
出处：2023年江西中考数学原卷。题号与完整题干已核验，原题无选项或附图。
2022·湖北黄冈·第17题：去括号、合并、求值
先化简，再求值：4xy−2xy−(−3xy)，其中x=2，y=−1。
展开答案与理由
减去−3xy得到+3xy。原式=4xy−2xy+3xy=(4−2+3)xy=5xy。
给定x=2，y=−1，值为5×2×(−1)=−10。三个知识接在同一路线上，各自有作用。
出处：2022年黄冈中考数学原卷文档预览。题号、完整算式与给定值已核验，原题无选项或附图。
2024·重庆B卷·第7题：回到摆法表达规律
用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 2 个菱形，第②个图案中有 5 个菱形，第③个图案中有 8 个菱形，第④个图案中有 11 个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）。
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
展开答案与摆法理由
选C，第8个图案有23个菱形。按图示摆法分三排，第n个图案的三排分别为n、n、n−1个，共3n−1个。
代n=8得8+8+7=23。这个式子对应本题三排菱形，不能套用上面四条臂棋子的4n+1。
出处：2024年重庆市中考数学B卷原卷预览。题干、四个选项和前四幅图已逐项核验，图按原题摆法重绘。