第3题 · 找到同一个倍数，整体代入

题目

已知2x²−3x−5=0，则−6x²+9x−1的值是________。

答案：−16。核心是先得到2x²−3x=5，再把所求式写成−3(2x²−3x)−1，用5替换整个括号。

这课要能独立做到：圈出可利用的整体，求出它的值，逐项核对同一个倍数，再整体代入。先会有理数加减乘法和分配律即可；不需要先解二次方程。

第一动作：圈住条件中的前两项

已知2x²−3x−5=0。先圈住2x²−3x，把后面的−5单独留着。

为什么圈这两项？所求的−6x²+9x−1也含x²项与x项。可以先比较这两种对应项，看看是否能把所求式改写成已知整体的若干倍。

先求整体：两边同时加5

等式左边是2x²−3x−5，右边是0。两边都加5，相等关系不变：

(2x²−3x−5)+5=0+5。

左边−5与+5互为相反数，相加为0；右边0+5=5。因此得到2x²−3x=5。

也可以用减法逆着想：一个数减5得到0，这个数就是5。这里的“一个数”指2x²−3x的整个值，不表示2x²和−3x分别都是5。

为什么想到乘−3：先找候选，再查另一项

把同一种字母项排在一起，比较它们的系数：

字母部分	已知整体中的系数	所求式中的系数	核对
x²	2	−6	2×(−3)=−6
x	−3	+9	(−3)×(−3)=+9

先看x²项：−6÷2=−3，提示我们尝试乘−3。但只检查一项还不够。

接着查x项：已知的系数是−3，乘−3后恰好得到+9。两项都通过，才说明它们一起变成了原整体的−3倍。

分配律保证改写前后相等

先逐项写出相同值的乘积：

−6x²=(−3)×2x²；

+9x=(−3)×(−3x)。

这两项都有共同因数−3。把分配律反过来写，就得到：

−6x²+9x−1=−3(2x²−3x)−1。

展开回去核对：−3分别乘括号内的2x²和−3x，正好得到−6x²和+9x。最后的−1保留在括号外。

用5替换整个括号，再计算

已知2x²−3x=5，括号内完整地出现了这个整体，所以可以一次替换：

−3(2x²−3x)−1

=−3×5−1

=−15−1

=−16。

这一步只用到整体的值，不必先求x。2x²与−3x一起替换；括号外的−3和−1保持原来的位置与作用。

独立核对，与一般理由分开

取容易算的x=−1，先检查它是否满足原条件：

2×(−1)²−3×(−1)−5=2+3−5=0，满足。

再算所求式：−6×(−1)²+9×(−1)−1=−6−9−1=−16，与答案一致。

这个代值是在核对计算，不能靠一个例子证明所有情况。一般成立的理由是分配律保证等值改写，而原条件保证2x²−3x始终等于5。因此，只要满足原条件，就能得到同一个目标值−16。

检查：条件改变以后，还能照搬什么

1. 若条件右边从0改为−3，即2x²−3x−5=−3，原目标−6x²+9x−1的值是多少？说明哪一步要重新算。
2. 若已知x²−x=0，要算2x²−x，能否只凭x²项的系数乘了2，就把整个目标当成已知整体的2倍？

展开核对与理由

1．两边同时加5后，整体2x²−3x=2。目标两项仍都是原整体的−3倍，因此−3×2−1=−7。倍数关系保留，整体的值要重新求，不能照搬5。

2．不能。2(x²−x)=2x²−2x，与目标2x²−x还差x。应完整写为2(x²−x)+x，不能丢掉这个余项。

这里还可以检查条件是否足够：x=0与x=1都满足x²−x=0，但目标2x²−x分别为0和1。两组满足条件的数给出不同目标值，说明这组条件不能唯一确定目标值。

带走的方法：发现相同的字母部分 → 求出整体的值 → 对每种字母项核对同一倍数 → 用分配律改写 → 保留余项再代入。发现一项倍数相同，只得到候选；还有含字母的余项时，不能把它擅自当成0。

中考真题：从两个字母中找到已知整体

2025·江苏苏州·第11题。题中的已知关系换成了两个字母。先想怎样把所求式中成对出现的项圈在一起，再计算。

11. 若 $y=x+1$，则代数式 $2y-2x+3$ 的值为______．

展开答案与解析

5。由y=x+1，两边同时减x，得到y−x=1。所求式2y−2x+3=2(y−x)+3=2×1+3=5。

这里的核心仍是同一个倍数：y的系数1变为2，−x的系数−1变为−2，都是乘2；括号外+3单独保留。

原卷出处：2025年苏州市初中学业水平考试数学试卷，第11题。已对照该第三方转载的完整原卷图片核对卷名、年份、题号和完整题干；本题无选项、无附图。