第4题 · 中心1枚，四条斜臂各n枚
先圈住中心1枚，四条斜臂都不含中心。按图示每臂各长1枚的方式继续，第n图每臂有n枚，所以共有1+4n枚。从第一图5枚起算，则增加n−1次，得到5+4(n−1)，与4n+1相同。图形添法是一般理由，三个数本身不能唯一决定规律。
题目
用棋子摆出下列图形（如图3-1）。
按照这种方式继续摆下去，第n个图形中有________枚棋子。（用含n的代数式表示）
答案：(4n+1)枚。按图中四个方向同时各延长1枚的方式继续，第n图有中心1枚＋四条斜臂各n枚。
这课要能做到：圈出中心，分组数清棋子，说明图号与每臂枚数的对应，再写代数式。需要会用乘法表示相同的几份，并知道字母可以表示数。这里n表示从1起的正整数图号。
第一个动作：先圈中心，再沿四个方向数
为了观察，给原题三幅图依次编上图号1、2、3。原题方框内是棋子，方框只是图的边界，不是要数的对象。
看第3图，先圈住最中间的1枚。离开中心，向左上、右上、左下、右下各数一条斜臂。为对应动画，把这四组依次标为A、B、C、D。
每条斜臂都有3枚，斜臂的计数不含中心。于是第3图是1+3+3+3+3=13枚。
给原题前三幅另标图号1、2、3；下面放大第3图。A左上，B右上，C左下，D右下。
双圈只标中心的同一枚；粗描边指出正在核对的一臂。四条斜臂均不含中心。
| 图号 | 每臂枚数 | 中心枚数 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 1 |
| 3 | 3 | 1 |
每次为什么增加4枚
从第1图到第2图，中心和原来四臂各1枚保留，四个外端各添1枚。所以增加4枚，5+4=9。
从第2图到第3图，仍然每臂外端各添1枚，原来的9枚保留，再加4枚得到13枚。
中心和旧层原位保留；虚线圈是待添位置，实心是已摆好。箭头表示向外延长。
当前实心已摆好：13枚。每一枚都完整计数。
第1图：5枚。
→ 第2图：9枚，新增4枚。
→ 第3图：13枚，再新增4枚。
“每次加4”的理由是四条臂各加1。中心没有增加，也没有重新摆一份。
把同一批棋子分成四组，中心另算
动画用第3图示范：中心留在原位，四条斜臂的棋子按A、B、C、D顺序逐枚移到四行。位置改变，棋子还是同一批，总数一直是13。
空心虚线只标原来的位置，帮助核对每枚去了哪里，不是额外的棋子。
实心始终是同一批13枚；空心虚线只记原位，不另算棋子。双圈标中心1枚，保持原位。每组从外端向内，逐枚沿侧边通道下移。粗描边为当前一组，与下方同名行对应。
3+3+3+3+1=13。只换位置，没有增加。
这样能看清：中心1枚，每组3枚，四组就是4×3枚。下一步只需弄清“每组的3”与图号有什么关系。
第n图，每条斜臂为什么有n枚
第1图每臂1枚。以后每进入下一图，每臂都加1枚，图号也加1。因此，第2图每臂2枚，第3图每臂3枚；按同样添法继续，第几图，每臂就有几枚。
用n表示图号，第n图每臂有n枚。四条臂一共有n+n+n+n=4n枚，最后加上单独的中心1枚，得到：
1+4n=4n+1。刚才第3图：四组各3枚，中心1枚。图号与每臂枚数相对应。
第n图的分组关系：n是正整数，每次四臂各加1；每臂都有n枚。
1+n+n+n+n=4n+1。
4是斜臂条数；n是每条臂的枚数；+1是单独的中心。每枚棋子只归一处。
这里4表示斜臂条数，n表示每臂枚数，+1表示中心。这些组没有重叠，而且已经包含全部棋子，所以是一般理由，不只是代几个图号碰巧算对。
核对另一种写法：5+4(n−1)
也可以从第1图已有的5枚开始，每次增加4枚。
但要特别看变化次数：从第1图到第2图，增加1次；再到第3图，又增加1次。到第3图时，共增加2次。
从第1图到第n图，经过n−1次增加，所以总数是：
5+4(n−1)=5+4n−4=4n+1。
3个图号是3个状态，从第1图出发，增加箭头只有2个。
从第1图到第n图：n−1次增加。每次增加4枚。
5+4(n−1)=5+4n−4=4n+1。
n=1时：5+4×0=5。第一图还没经历增加。
图号与变化次数相差1。若写成5+4n，就多加了一次。用第1图检查最清楚：n=1时应当还没增加，5+4×0=5，而5+4×1会误得9。
中心重复数的另一种情况
若沿两条完整对角线来数，每条都有n+1+n=2n+1枚。两条对角线都带上了同一枚中心，中心因此被数了两次。
两份相加后应减去重复的1枚：
2(2n+1)−1=4n+2−1=4n+1。
这与四臂分组法相互核对。注意不能把“四条不含中心的斜臂”与“两条含中心的完整对角线”混为一类组。
检查：改条件以后，哪一部分要改
- 把X形转成＋形，保持同一批棋子，枚数会改变吗？说出不变的理由。
- 四条臂仍各有n枚，但不摆中心，代数式应怎样改？
- 中心保留，只摆A、B、C三条臂，第n图有多少枚？第1图还能套原来的5枚吗？
展开核对与理由
1．不变。只是改变摆放方向，没有增删棋子；中心与四组的枚数都保持。
2．改为4n。四组保留，单独的中心没有了，因此去掉+1。
3．改为3n+1。第1图是3×1+1=4枚，起点也改变了，不能继续用原来的5。
带走的方法：先指认固定部分与生长方向 → 分成不重不漏的组 → 把每组数量对应到图号 → 写式子并检查第1图。换条件后重新数固定部分、组数和每次新增量；不凭外观相似套4n+1。
中考真题：起点与每次新增量都要重找
2024·重庆B·第7题。同样是图形逐次增长，这题的起点与新增量都不同。先在图中找到增加的是哪几排，再算经历几次增加。
用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 2 个菱形，第②个图案中有 5 个菱形，第③个图案中有 8 个菱形，第④个图案中有 11 个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）。
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
展开答案与解析
C，23个。从一图到下一图，三排各添1个菱形，一共增加3个。第①图有2个，第⑧图比第①图多经过7次增加，所以2+3×(8−1)=23。
不能套本题的5+4(n−1)：真题的第一图是2个，每次新增3个。可迁移的是“起点＋每次新增量×变化次数”这个关系。
原卷出处：2024年重庆市初中学业水平暨高中招生考试数学试题B卷，第7题。已重新读核项目中保留的第三方原卷版预览：卷名、年份、题号、完整题干、四幅图、所求图号和四个选项一致；图按题意重绘。