第8题 · 阴影面积：左边直径b，右边半径b

题目

如图 3-2，长方形的长为 a，宽为 b。

（1）用含 a，b 的代数式表示图中阴影部分的面积 S；

（2）当 a＝5 cm，b＝2 cm 时，求阴影部分面积 S 的值（结果用含有 π 的代数式表示）。

答案：（1）S=ab−(3/8)πb²；（2）S=10−(3/2)π，即10−3π/2（cm²）。

核心是先认清两个半径：左半圆的直径是b，所以半径为b/2；右侧四分之一圆的半径才是b。

这课要能做到：在图上指出直径、半径和圆心的位置，分别算两块空白，再说明为什么用长方形减去它们。需要会长方形面积、圆面积πr²、直径等于两倍半径，以及分数乘法。这里r只在通用圆面积公式中表示半径；回到本题，分别使用b/2与b。

先看所求与已知：完整长方形减去两块空白

按题图，两块空白互不重叠，也都在长方形内。因此有：

阴影面积=长方形面积−左半圆面积−右四分之一圆面积。

长方形面积是a×b=ab。还差两块空白面积，先把它们分开算。

左侧的b是一整条直径，半径是b/2

左半圆的上、下端点分别在长方形左上、左下顶点。连接这两个端点的直线段就是直径，长为b。

圆心在直径中点。把b平分，两段都是b/2，所以左半圆半径=b/2。

右侧四分之一圆的圆心在右下角，沿右边向上的半径与整条宽重合，所以右扇形半径=b。

“半圆”与“四分之一圆”说明的是各自占同半径整圆的份数。计算面积时，还必须分别确认半径。

左半圆：半径先平方，再取整圆的一半

先补全左半圆所属的同半径圆，补出的部分只作参照。

整圆面积=π×(b/2)²。

这里要平方的是整个b/2：

(b/2)²=(b/2)×(b/2)=b²/4。

再取半圆的一半：

左半圆面积=(1/2)×π×(b²/4)=(1/8)πb²。

分母8来自两次计算：半径平方带来分母4，再取半圆的一半，4×2=8。

右扇形：半径b，取整圆的四分之一

右下角是直角90°，对应整圆360°的90/360=1/4。半径已经是b，所在整圆的面积是πb²。

所以右侧空白面积=(1/4)×πb²=(1/4)πb²。

右侧这一块的面积是左半圆的2倍：1/4=2/8。判断面积大小要同时看半径和所占整圆的份数。

把面积通分，再从ab中减去

现在把两块面积都写成πb²的若干份：

左半圆面积+右扇形面积=(1/8)πb²+(1/4)πb²。

1/4=2/8，因此空白总面积=(1/8+2/8)πb²=(3/8)πb²。

图中的格子只记录面积：每格代表πb²/8。左侧1格、右侧2格，合计3格；曲边图形本身的形状没有改变。

最后代回整体减空白的关系：

S=ab−(1/8)πb²−(1/4)πb²=ab−(3/8)πb²。

代入a=5、b=2，先算b²

长方形面积：5×2=10（cm²）。

先算b²=2²=4，再算空白面积：(3/8)×π×4=(3/2)π（cm²）。

所以S=10−(3/2)π=10−3π/2（cm²）。题目要求含π的代数式，因此保留π，不改写成近似小数。

还可以按原图分块检查：左半圆半径为1，面积为(1/2)π；右扇形半径为2，面积为(1/4)×π×2²=π。10−(1/2)π−π，仍得10−(3/2)π。

只改变右侧半径，先预测再核对

保留长方形和左半圆，只把右扇形半径由b改为b/2。右扇形面积变成原来的几分之几？新的阴影公式是什么？

展开答案与理由

半径变为原来的1/2，半径平方就变为原来的(1/2)²=1/4。右扇形仍是四分之一圆，所以它的面积变为(1/4)π(b/2)²=(1/16)πb²。

左半圆没改，面积仍是(1/8)πb²=(2/16)πb²。两块空白共(3/16)πb²，所以新阴影面积为ab−(3/16)πb²。

方法仍是“认半径→平方→按整圆份数取面积→整体减空白”；数值系数要按新条件重算。

近五年中考真题：同样先认半径，再算整圆的份数

2022·广东·第15题。原卷第15题是填空题，没有选项或附图，完整题干如下。

扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为________。

展开真题答案与解析

答案：π。半径为2，整圆面积π×2²=4π。90°是360°的1/4，所以扇形面积=(1/4)×4π=π。

它与本题右侧空白使用同一条关系：半径先平方，再取整圆面积的四分之一。这里不需要弧长公式。

出处：2022年广东省中考数学试卷，第15题原卷排版预览。已目视核对卷名及第2页的完整题干、π与题目边界；该题没有图。另核对原卷版可信文本。

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