第6题 · 两边各差1：补1格，拼成平方
第5式是4×6+1=5²，第n式是(n−1)(n+1)+1=n²。先把序号与两个因数、平方底数逐列对应，再用同一批方格拆条带、转向和补角，说明一般成立；单独核对n=1，不把有限个例子当作证明。
题目
观察下列等式：0×2+1=1²；1×3+1=2²；2×4+1=3²；3×5+1=4²；……。
（1）请你根据上面等式的规律直接写出第5个等式：________；
（2）探索以上等式的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立的理由。
这课要能做到：指出第n个等式中每个数与序号的关系，写出一般式，再说明为什么成立。需要会乘法、长方形面积和平方的意义：4²表示4×4，底数是4；n²表示n×n，不是2n。乘法里相乘的数叫因数。
第一个动作：给等式标序号，每列分别看
不要把每一行当成一长串数一起猜。先标第1、2、3、4个，再分别记下两个因数和平方的底数。
第1个等式里，第一个因数是0，不是1。沿着原题所提示的方式继续：
- 因数①为0、1、2、3，始终比序号少1，所以第n个用n−1。
- 因数②为2、3、4、5，始终比序号多1，所以第n个用n+1。
- 平方的底数为1、2、3、4，与序号相同，所以第n个右边为n²。
中间单独加的1始终不变。于是第5个是4×6+1=5²；一般写成(n−1)(n+1)+1=n²。
| 第几个 | 因数① | 因数② | 平方底数 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 3 | 2 |
| 3 | 2 | 4 | 3 |
| 4 | 3 | 5 | 4 |
| 5 | 4 | 6 | 5 |
每列的数都依次加1；算式中单独加上的1不变。
第5个：4×6+1=5²（两边都等于25）。
第n个：(n−1)(n+1)+1=n²，n是从1起的正整数。
因数①比序号少1，因数②比序号多1，平方底数等于序号。
为什么会想到拼成正方形
用原题第4个等式3×5+1=4²作例子。把3×5画成3行、每行5格的长方形，旁边再放1个同样大的小方格。每格面积都是1。
当前示例：3×5+1=16；目标4²=16。
长方形：3行，每行5格。另外补1格。
普通方格：保持不动；斜纹：同一条带；十字：另外补的格。虚线只作目标和原位置参照，不计入方格数。
普通12格＋条带3格＋待补1格＝16格。已经与方阵对齐：12格。
左边保留3行4列，共12格；右侧条带3格；旁边补格1格。12+3+1=16，正是原来的同一批方格。
把同一条带转到下面，再补上缺角
动画先把右侧的3格作为完整条带下移到空处，顺时针转四分之一圈，再向左、向上贴到原图下边。每个方格一直保留，形状、大小和总数不变。
虚线框与空心原位标记只是参照，不是新加了一份方格。
当前示例：3×5+1=16；目标4²=16。
长方形：3行，每行5格。另外补1格。
普通方格：保持不动；斜纹：同一条带；十字：另外补的格。虚线只作目标和原位置参照，不计入方格数。
普通12格＋条带3格＋待补1格＝16格。已经与方阵对齐：15格。
现在原来3行保留，下面多了一行的前三格，右下角还空1格。再把旁边带十字的那1格移入缺口，就成为4行4列。
当前示例：3×5+1=16；目标4²=16。
长方形：3行，每行5格。另外补1格。
普通方格：保持不动；斜纹：同一条带；十字：另外补的格。虚线只作目标和原位置参照，不计入方格数。
普通12格＋条带3格＋待补1格＝16格。已经与方阵对齐：16格。
3×5+1=16=4²，正好补齐。
左边原来有3×5+1格，右边拼成后有4×4格。没有重叠，也没有遗漏，所以3×5+1=4²。
第n个等式为什么也成立
n≥2时，同样从n−1行、每行n+1格的长方形出发：
- 最右侧一列有n−1格。拆下后，原来n−1行仍然保留，每行剩n格。
- 拆下的n−1格横放在下面，再加旁边1格，得到(n−1)+1=n格，正好是一整行。
- 原来n−1行加上新的一行，共n行，每行n格，总数为n²格。
所以对每个n≥2，都有(n−1)(n+1)+1=n²。这个分组关系没有依赖“n恰好等于4”，图中的4只是帮助观察的示例。
也可以顺着同一分组关系写：n(n−1)+(n−1)+1=n(n−1)+n=n[(n−1)+1]=n²。这里每一项都能指回图中的方格，不必先背一个新的乘法公式。
n=1时，没有零行长方形的面积图
n=1时，n−1=0，0×2没有任何长方形方格，只剩旁边补的1格。它本身就是1行1列，所以0×2+1=1²也成立。
第1式边界核对：0×2+1=1；目标1²=1。
零行，没有长方形方格。另外补1格。
普通方格：保持不动；斜纹：同一条带；十字：另外补的格。虚线只作目标和原位置参照，不计入方格数。
普通0格＋条带0格＋待补1格＝1格。已经与方阵对齐：1格。
0×2+1=1=1²，正好补齐。
这样，第1个等式与n≥2的情形都核对到了。没有除以n−1，因此也没有把n=1排除掉。
换条件时，先重新找缺口
保持中间数为4：原来3×5比4²少1，所以补1。若两边改成比4少2和多2，变成2×6，右侧两列转到底部后，右下角缺的是2行2列的4格。
当前示例：2×6+4=16；目标4²=16。
长方形：2行，每行6格。另外补4格。
普通方格：保持不动；斜纹：同一条带；十字：另外补的格。虚线只作目标和原位置参照，不计入方格数。
普通8格＋条带4格＋待补4格＝16格。已经与方阵对齐：16格。
2×6+4=16=4²，正好补齐。
这时应当是2×6+4=4²，不能继续只加1。探索中的“两边各差2”方格模型要求中间数至少为2，避免把负数当成行数。
带走的顺序是：标序号 → 逐列找与序号的关系 → 写一般式 → 按结构说明原因 → 检查第一项与改变条件后的边界。
自测：起点改了，哪一处也要改
另给一组等式，从1×3+1=2²开始，后面依次为2×4+1=3²、3×5+1=4²，……。把新的第1个编号为1，新的第n个等式是什么？原来(n−1)(n+1)+1=n²能直接照抄吗？
展开答案与理由
新组的第一个因数等于序号n，第二个因数比序号多2，平方底数比序号多1。所以应写n(n+2)+1=(n+1)²。
拼方阵的关系仍然成立，但方阵边长是n+1，不能把它与新的序号n混为一谈。这是同一结构下改变编号的迁移，不是换了一个平方规律。
再问：仍用原来的3×5，若不补或补2格，能否都说“拼成4²”？
展开核对
不能。不补只有15格，还缺1格；补2格共有17格，填好4×4后还会多1格。重排不能让方格消失或凭空增加，必须把原来那1格缺口与实际补格数对应起来。
近五年中考真题：同样逐列对应序号
2024·宁夏·第15题。原题没有选项或附图，下面保留全部四个等式和所求。
观察下列等式：
第1个：1×2−2=2²×0；
第2个：4×3−3=3²×1；
第3个：9×4−4=4²×2；
第4个：16×5−5=5²×3．
……
按照以上规律，第n个等式为________。
展开真题答案与结构核对
第一组数1、4、9、16对应n²；第二组数及减去的数2、3、4、5对应n+1；右边平方底数也为n+1，最后一个因数0、1、2、3对应n−1。
所以第n个为n²(n+1)−(n+1)=(n+1)²(n−1)，n为正整数。注意最后一个因数从0起，不能写成n。
本题已说明n²−1=(n−1)(n+1)。两边同乘n+1：左边(n²−1)(n+1)=n²(n+1)−(n+1)，右边(n−1)(n+1)(n+1)=(n+1)²(n−1)。这解释了为什么一般成立，仍不是只核对前四项。
用n=1检查，两边都是0，起点也正确。
出处：2024年宁夏中考数学真题（含答案），原卷预览第3页第15题。已核对卷名年份、题号、各项位置、全部平方符号与完整题干；来源为原卷Word可信文本及其排版预览，不声称考试机构官方扫描。
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