第12题 · 数轴坐标与距离：先读点序，再作减法
由C、B、0、A的顺序确定右减左。AC=5m−6；AB=10时倒推m=4，得到BC=4；一般式中m项相消，所以按原图条件2AB−3BC恒为8。改变点序后重新判断距离。
题目
如图3-4，在一条数轴上，点A，B，C表示的数分别是2m+1，3−m，7−3m。
原图点序示意，不按比例；不能量图求长度。
点序：C＜B＜0＜A。
A：2m+1
B：3−m
C：7−3m
（1）求AC的长度（用含m的代数式表示）；
（2）若AB=10，求BC的长度。
（3）小明认为2AB−3BC的值与m无关。你认为他的说法正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由。
答案：（1）AC=5m−6；（2）BC=4；（3）正确，按原图位置条件，2AB−3BC=8。
核心动作：先读左右顺序，再用右边点的数减去左边点的数。坐标是点表示的数，线段长度是两点间的距离，二者要分清。
这课要能做到：从原图确定减法方向，把坐标式整体相减，由AB=10倒推m，并解释结果为什么与m无关。需要会数轴上的数、有理数加减、分配律和合并同类项；倒推m会从“几份数”的意思说明。
先读原图：从左到右是C、B、0、A
原图给出的顺序是C＜B＜0＜A。这里的0是原点，AB、BC、AC都表示线段长度。
点B表示3−m，又在0的左边，所以3−m是负数。三减m要为负，减去的数m必须比3大，即m>3。这是原图包含的位置条件。
图只给出点的先后顺序，没有说明各段等长。不能量示意图的间隔来代替计算。
第一问：AC用A的数减C的数
点C在左，点A在右，所以AC=(2m+1)−(7−3m)。
为什么要给7−3m加括号？因为减去的是点C表示的整个数。去括号时，7与−3m都要乘−1：7变成−7，−3m变成+3m。
原图点序示意，不按比例；不能量图求长度。
点序：C＜B＜0＜A。
从C向右量到A；箭头表示测量，点的位置保持。
AC=A的数−C的数=2m+1−(7−3m)。
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：1×(2m+1)
这一组：−1×(7−3m)
2m+1−7+3m
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：m（字母及指数相同）
提取相同部分：(2+3)×m
第2组：常数
提取相同部分：(1−7)
合并结果：5m−6
AC=2m+1−7+3m=5m−6（原图点序下）。
AC=2m+1−7+3m=(2+3)m+(1−7)=5m−6。
m项只合并系数，m保留；1与−7是常数项，合成−6。
第二问：先写AB，再从10倒推m
为什么不能直接把AB=10当成BC=10？原图没有说两段相等。AB给出的信息要先和坐标式连接。
点B在左，点A在右，所以AB=(2m+1)−(3−m)。减去3−m，相当于3和−m分别乘−1。
原图点序示意，不按比例；不能量图求长度。
点序：C＜B＜0＜A。
从B向右量到A；箭头表示测量，点的位置保持。
AB=A的数−B的数=2m+1−(3−m)。
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：1×(2m+1)
这一组：−1×(3−m)
2m+1−3+m
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：m（字母及指数相同）
提取相同部分：(2+1)×m
第2组：常数
提取相同部分：(1−3)
合并结果：3m−2
AB=2m+1−3+m=3m−2（原图点序下）。
AB=2m+1−3+m=3m−2。已知AB=10，就有3m−2=10。
三份m减去2以后是10。先加回减掉的2，三份m就是12；再把12平均分成3份，每份是4，因此m=4。
已知AB=10：3m−2=10。
加回减掉的2：3m=10+2=12。
把12平均分成3份：m=12÷3=4；4>3，符合原图。
A：2m+1=9
B：3−m=−1
C：7−3m=−5
接下来切换成数值比例图；比例改变，点序仍是C、B、0、A。
4>3，符合原图。代回坐标：A表示9，B表示−1，C表示−5。下面改用数值比例图，比例与原示意图不同，点序仍然是C、B、0、A。
m=4，按坐标等单位绘图；短刻度间为1单位。
点序：C＜B＜0＜A。
从C向右量到B；箭头表示测量，点的位置保持。
A：2m+1=9
B：3−m=−1
C：7−3m=−5
BC=(−1)−(−5)=4。
整段核对：AC=14=AB+BC=10+4。
BC=(−1)−(−5)=−1+5=4。
再核对整段：AC=5×4−6=14，而AB+BC=10+4=14。因为B在线段AC内部，两段正好合成AC，没有重叠的一段被重复计入。
第三问：回到一般式，判断m项是否留下
m=4只能核对一个例子。题目问“与m无关”，需要看符合原图的m改变后，结果是否仍相同。
已求出AB=3m−2，还缺BC的一般式。按原图，C在左、B在右：
原图点序示意，不按比例；不能量图求长度。
点序：C＜B＜0＜A。
从C向右量到B；箭头表示测量，点的位置保持。
BC=B的数−C的数=3−m−(7−3m)。
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：1×(3−m)
这一组：−1×(7−3m)
3−m−7+3m
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：常数
提取相同部分：(3−7)
第2组：m（字母及指数相同）
提取相同部分：(−1+3)×m
合并结果：−4+2m
BC=3−m−7+3m=−4+2m（原图点序下）。
BC=(3−m)−(7−3m)=3−m−7+3m=−4+2m，也可写成2m−4。
现在把AB和BC分别代入。外面的2与−3都要乘到各自括号中的每一项，常数也不能漏：
原图点序下：AB=3m−2；BC=−4+2m。
2AB−3BC=2×(3m−2)−3×(−4+2m)。
每条箭头表示一次等值运算。乘数同时作用于这一项的系数；字母和指数原样保留。
这一组：2×(3m−2)
这一组：−3×(−4+2m)
6m−4+12−6m
2AB−3BC=8。m项相消，所以在原图点序（m>3）下，值与m无关。
一般理由来自化简。代入几个m只能核对例子。
2AB−3BC=2(3m−2)−3(−4+2m)=6m−4+12−6m。
其中−3×(−4)=+12，−3×2m=−6m。接着合并同类项：
原图点序下：AB=3m−2；BC=−4+2m。
2AB−3BC=2×(3m−2)−3×(−4+2m)。
带着每一项的符号分组。箭头左右等值，只改变系数，字母部分不变。
第1组：m（字母及指数相同）
提取相同部分：(6−6)×m
第2组：常数
提取相同部分：(−4+12)
合并结果：8
2AB−3BC=8。m项相消，所以在原图点序（m>3）下，值与m无关。
一般理由来自化简。代入几个m只能核对例子。
6m−6m=0，−4+12=8。所以在原图点序下，2AB−3BC恒等于8，小明的说法正确。
这不是靠试出几个8来猜：相消的两个m项系数互为相反数，无论符合条件的m怎样改变，它们的和都是0，最后只剩常数8。
换成m=1：先重新排点
这是改变原题位置条件的对照练习。m=1时，A表示3，B表示2，C表示4。请重新排出三点与原点的顺序，求AB、BC，再计算2AB−3BC。
展开答案与理由
从左到右是0、B、A、C，已经不符合原图的C、B、0、A。
AB=3−2=1；BC=4−2=2；2AB−3BC=2×1−3×2=−4。
BC这时要用C的数减B的数；原来的−4+2m代入m=1得到−2，不能作为长度。这个例子不否定原图条件下的恒等关系，而是说明距离的减法方向必须与点序一致。
带走的方法：图中点序→长度用右减左→把坐标式整体代入→去括号、合并→核对条件。问“是否与m无关”，就看化简后是否还有m，同时保留写距离式时用到的条件。
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出处：2022年黄冈中考数学原卷文档预览。题号、完整算式与给定值已按原卷逐项核验；原题无选项或附图。