第10题 · 三条直线把平面分成几部分

题目

问题：两条直线将平面分成几部分？

解：如图4-1-7①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分；如图4-1-7②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分。

根据上述内容，解答下面的问题：

（1）上面问题的解答过程应用了______的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）；

（2）三条直线将平面分成几部分？

答案：(1) 分类讨论；(2) 三条直线把平面分成 4 部分、6 部分或 7 部分。

核心：先把位置关系列全，再看第三条线经过几个旧区域。每经过一个旧区域，把它分成两块，就新增1块。

先把情况列全

这里按题意讨论三条不同的直线。先判断有没有平行的一对：

• 有平行的一对：第三条也与它们平行，就是三条全平行；否则，恰有一对平行。若有两对平行，三条便都平行，不会多出第五类。
• 没有平行的一对：任意两条都相交，再分三条交于同一点，或三条不交于同一点。

这样得到四类，既不重叠，也不遗漏。“共点”指几条直线经过同一个点，不能把图上看起来很近的交点当作同一个点。

再沿第三条线逐段数新增

以下把两条旧线叫①②，把新线叫③。若有平行的一对，先选它们作为①②，计数更方便。编号只表示观察顺序，不改变最终图形。

虚线框只是一扇观察窗口。直线在框外仍继续延伸；边框不参与分割，也不产生交点。区域编号只用于核对数量。

三条全平行：3＋1＝4

前两条平行线分出3块。第三条不与旧线相交，整条新线经过一个旧区域，把这一块分成两块，新增1块。

恰有一对平行：3＋3＝6

先画平行的①②，得到3块。③分别与它们相交，有两个不同的交点，分成三段。三段分别经过三个旧区域，每个区域新增1块，所以一共新增3块。

这里的“三段”是把新线分成的三部分，两端向外无限延伸，并不都是有限长的线段。

旧图：3块

新图：6块

正在核对第3段：旧图区域3分成新图的3、4两块，新增1块。

两幅图分别编号；边框加粗的区域互相对应。虚线框只是观察窗口，直线在框外继续延伸。

3＋3＝6。新线上有2个不同交点，分成3段。

三条共点：4＋2＝6

先画相交的①②，得到4块。③经过原来的交点：虽然它分别与①②相交，交点位置只有一个。③因此分成两段，各使一个旧区域多1块，共新增2块。

两两相交、不共点：4＋3＝7

①②相交，先有4块。③不经过它们原来的交点，与①②分别产生两个不同的交点，分成三段。三段经过三个旧区域，共新增3块。

汇总后才能排除5块

四类覆盖所有情况，结果只有4、6、7。因此三条不同直线不可能分出5块。这个结论来自完整分类和每类计数，不是因为试画的几幅图中没有5。

检查自己是否看懂

检查1：先画两条平行直线，第三笔沿其中一条完全重画。现在有几条不同的直线？平面分成几块？原题的答案还能直接使用吗？

展开检查1

只有2条不同的直线，共3块。第三笔没有添出新直线，也没有把任何旧区域分开。笔画次数不能代替不同直线的条数；原题的“三条不同直线”条件没有满足。

检查2：四条不同直线最少把平面分成几块？最多呢？说明怎样安排位置关系。

展开检查2

最少5块。每添一条不同直线至少新增1块，四条全平行时正好是1＋1＋1＋1＋1＝5。

最多11块。每条新线与前面的每条线分别相交，交点互不重合时，四次依次新增1、2、3、4块，所以总数是1＋1＋2＋3＋4＝11。最终图形中任意两条相交，任何三条不共点。

带走这套判断

看见“直线分平面，问有几部分”，先按位置关系列全，再从旧图添一条线。沿新线数不同交点，确定它经过几个旧区域，逐个加1。

本课的计数理由用于不同直线对整个平面的分割。若改成有限线段、曲线或只切一个有边界的图形，须重新核对它怎样穿过并分开区域，不能直接照搬本课结果。

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