第11题 · 直线分平面：从数出来到算出来

题目

在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为a₁，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为a₂，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为a₃，……，（n＋1）条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为aₙ。

（1）a₁＝，a₂＝，a₃＝______；

（2）aₙ＝______；

（3）求

$$\frac1{a_1-1}+\frac1{a_2-1}+\cdots+\frac1{a_n-1}.$$

（当n为正整数时，

$$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$$

）

答案：（1）a₁＝4，a₂＝7，a₃＝11；（2）aₙ＝(n²＋3n＋4)/2；（3）n/(n＋2)。

先对准下标：aₙ数的是n＋1条直线最多分出的区域。每添一条线，沿新线数新增区域。第三问再把每项改写为相邻两个分数之差，让同分母的一正一负相加为0。

本题前半可接着第10题的添线计数看。后半要用普通分数的通分与分配律，并把同样的性质用于含字母的分数；下面先用1/2−1/3搭桥。每个分母都是正数，不会出现除以0。

下标n，比直线条数少1

原题从两条线开始定义a₁。依次是：

所以a₄对应5条线。四条线分出的最多区域数是a₃＝11，不能把这个11填给a₄。

第k条线，为什么最多新增k块

添第k条线前，已有k−1条线。每条旧线与新线至多相交一次，所以新线上最多有k−1个不同交点。

k−1个不同位置把新线分成k段。每一段把一个旧区域分成两块，新增1块，因此最多新增k块。两端的“段”向外无限延伸，不都是有限长的线段。

要达到最多，新线须与每条旧线相交，并避开所有旧交点。若经过旧交点，就会有两次相交落在同一个位置，新线分的段数减少。这正是“任意三条不共点”来自原题“最多”的原因。

4条两两相交、任意三条不共点的直线，最多分11块。

虚线框只是观察窗口；直线在框外继续，边框不参加分割。底色帮助辨认区域。

这里不是从4、7、11三个数猜出规律；依据是每次添线能产生的不同交点与新增区域。

把每次新增加起来，再用题目提示

没画线时，原有1块。添第1条新增1块，添第2条新增2块，一直到第n＋1条新增n＋1块。

先把最后一次新增的n＋1块单独拿出来，其余正好是从1加到n：

原有1＋从1到n的新增＋最后新增(n＋1)

＝1＋(n＋1)＋从1加到n的和

只交换相加顺序，每一份仍保留；虚线轮廓只标出发位置，不是多一份。

再用原题给出的和公式：

式子中的1是原有区域数，n＋1是最后一条线新增的块数，最后的分数是前n次的新增总数。它们都在数块数。

aₙ＝1＋(n＋1)＋n(n＋1)/2

＝2＋2(n＋1)＋n(n＋1)/2

＝n²＋3n＋4/2

n＝4 → 5条线 → a₄＝16。

代回核对：n＝1、2、3时得4、7、11；n＝4时，a₄＝(16＋12＋4)/2＝16。这些例子用于验算，一般理由仍是添线计数。

先整理aₙ−1，保留共同的一份

第三问用的是区域数减1。先从还没展开的式子算：

分子两项都含n＋1。把n＋1看成一份，前一项有2份，后一项有n份，合计n＋2份。因此：

这个写法能看见相邻的两个因数，比只盯着n²＋3n＋2更容易想到第三问怎样改写。

先用普通分数发现拆法

第一项的分母是a₁−1＝3，所以第一项为1/3。我们希望它与下一项的改写出现相同分母，才可能相加为0。先试1/2−1/3：

1/2−1/3＝(3−2)/6＝1/6

2×(1/2−1/3)＝2/6＝1/3

第一项原本是1/(a₁−1)＝1/3，乘2后才相等。

这个差只有1/6，因此外面要乘2才等于原来的1/3。系数2来自原分母“乘积除以2”，要与两个分数一起保留。

每一项都能这样拆，理由是通分

用k表示当前是第几项。第k项为1/(aₖ−1)，整理后是2/[(k＋1)(k＋2)]。

和普通分数一样，分子、分母同时乘同一个非零数，分数值不变。把1/(k＋1)与1/(k＋2)通分到相同分母，分子之差为(k＋2)−(k＋1)＝1。

1/(k＋1)−1/(k＋2)

＝(k＋2)−(k＋1)/(k＋1)(k＋2)

＝1/(k＋1)(k＋2)

所以1/(aₖ−1)＝2×[1/(k＋1)−1/(k＋2)]。

所以每一项都等于2×[1/(k＋1)−1/(k＋2)]。这是对任意正整数k的通分理由，不只是几个数值碰巧相等。

只看前三项，逐对核对谁相加为0

先把三项拆开，再把公共因数2提到整串外面：

第一对：第1行的−1/3与第2行的＋1/3。它们同分母、一正一负，相加为0。第1行的＋1/2还在，不能把整行都删去。

下面各行相加，整串外面乘2。每行只拆原来的对应一项；划线的一对相加为0。

尚未标0的括号内加数：+1/2，−1/4，+1/4，−1/5。

第二对：第2行的−1/4与第3行的＋1/4。原来的划线仍保留，便于看见每个加数的去处。

下面各行相加，整串外面乘2。每行只拆原来的对应一项；划线的一对相加为0。

尚未标0的括号内加数：+1/2，−1/5。

所有能配的都已标0；没有伙伴的加数剩2个。

原来各项的和＝2×括号内的和＝3/5。

六个括号内加数，用了两对共四个，剩下＋1/2与−1/5。外面仍乘2，所以前三项的和为2×(1/2−1/5)＝3/5。

n项为什么也只留两端

完整的一串中，第k行的−1/(k＋2)，会与第k＋1行的＋1/(k＋2)配成0。只要后一行还属于这串，就有伙伴。

每个中间分母3、4、……、n＋1，都恰好有一正一负。它们来自相邻两行，每个加数只用一次，共n−1对。

没有伙伴的是最前面的＋1/2与最后面的−1/(n＋2)。注意：前三项的末分母是5；一般n项的末分母要写n＋2，不能把5当成任意末项。

2×[1/2−1/(n＋2)]

＝1−2/(n＋2)

＝(n＋2)−2/n＋2

＝n/(n＋2)

n＝1时，没有任何一对可消，直接算2×(1/2−1/3)＝1/3；公式1/(1＋2)也给1/3。边界一致。

检查自己是否看懂

1. a₄对应几条线，值是多少？若只画四条且交于同一点，8块能否称为a₃？
2. 只保留前三项的第1项和第3项，还能把和写成3/(3＋2)吗？指出失去伙伴的加数。

展开自测答案与理由

1. a₄对应5条线，最多16块。四条全共点虽有8块，但没有达到最多；a₃按定义仍是四条线最多的11块。改变安排不能改写“最多”的定义。

2. 不能。括号内剩(1/2−1/3)＋(1/4−1/5)，四个分数都没有伙伴；第二项缺失后，−1/3失去＋1/3，＋1/4失去−1/4。原式的和为1/3＋1/10＝13/30。完整连续一串的n/(n＋2)不能直接套给缺项式。

带走的方法：先把下标译成条数，再按不同交点数求新增；求和时先证明单项改写等值，再逐个找相反数伙伴。起点、末项或完整性改变后，重新检查留下的两端。

真题迁移：相邻分母的同一个等式

2022·浙江舟山·第19题

展开真题答案与推理

$$\frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}\quad(n\text{为正整数}).$$

右边通分后，分子为n＋1，分母为n(n＋1)，正好等于1/n。第一条等式从分母n＝2开始；这里的n表示左边分数的分母，与本题末下标n各按各自题意解释。

两边同时减去1/(n＋1)，得到1/n−1/(n＋1)＝1/[n(n＋1)]。把这里的n换成k＋1，再乘2，就得到本课每一项的拆法。

出处：2022中考原卷下载页。复用项目已核验的舟山原卷Word、题头和第19题完整清晰渲染；本题无选项、无附图。它对应通分与相邻分母裂项。直线分平面区域的近五年中考原题仍待核实，暂缓收录，不用其他规律题代替。

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