第8题 · 20种车票，为什么最多10个交点
先按甲、乙、丙、丁列出4、3、2、1对城市。去回票的起终点不同，十对对应二十种票；五线也有十对，但不同的对可以共用一个交点，最多十个、最少一个，m+n=11。
题目
（1）要保证某 5 个城市中每两个城市之间都有高铁可乘，需要印不同的火车票多少种？
（2）平面上 5 条直线两两相交，最多有 m 个交点，最少有 n 个交点，求 m+n 的值。
答案：（1）20种；（2）m＝10，n＝1，m＋n＝11。
先数“有几对”，再看每对怎样计数。去回票的起终点不同；不同直线对的交点却可以在同一位置。
先列城市对：4＋3＋2＋1
城市名没有给出，我们用甲、乙、丙、丁、戊来做记号。
从甲开始，它能和乙、丙、丁、戊各配一对，共4对。轮到乙时，乙甲已经列过，只再列乙丙、乙丁、乙戊，共3对。接着丙只配丁、戊，最后丁配戊。
甲开头：4对甲乙、甲丙、甲丁、甲戊
乙开头：3对乙丙、乙丁、乙戊
丙开头：2对丙丁、丙戊
丁开头：1对丁戊
每两个不同的城市，总有一个排在前面、一个排在后面。这一对会在较前城市的那一组出现一次，所以既不漏，也不重复。
因此城市对共有：4＋3＋2＋1＝10对。图中连线只帮我们数对，连线的交叉处不是新城市。
再数票：甲到乙与乙到甲不同
按出发城市和到达城市区分票种。甲到乙，起点是甲、终点是乙；乙到甲，起点和终点交换了，是另一种票。
上弧：甲→乙，这一种已画好。下弧：乙→甲，是另一种票。
一对城市需要2种单程票。10对就需要10×2＝20种。
也可以按出发城市核对：五个城市中，每个城市都能去其余四个城市，所以是5×4＝20种。这次数的是“起点→终点”，两个相反方向正好都需要，不用再除以2。
换成直线：一对至多交于一点
原题中的五条直线两两相交，表示任意抽出两条，都有一个交点。“两两”只保证每一对相交，并没有说各对的交点位置一定不同。
五条直线也能像五座城市一样列出10对。每对至多有一个交点，因此不同的交点位置至多10个。
还要说明：10个确实能画出来。
先画两条直线，它们产生1个交点。
再添第三条，让它与原来两条都相交，并避开原来的交点。这时新增2个交处，共1＋2＝3个。
继续选好第四条、第五条的位置，让新线与以前每条都相交，并避开已有交点。这样第四条新增3个，第五条新增4个。
现在共有1＋2＋3＋4＝10个不同位置。这幅图满足两两相交，也真的达到10，所以m＝10。算式4＋3＋2＋1是在按较前的直线列对；1＋2＋3＋4是在按添线顺序数新增交点，两种数法数的是同一批10对。
最少：十对可以共用一个位置
让五条不同的直线都经过同一个点。每两条仍然相交，所以符合原题。
①②这一对、①③这一对……虽然是不同的直线对，交处却可以全在同一个位置。因此，10对不等于一定有10个不同交点。
最少又能不能为0？原题要求两两相交，至少有两条线的交点，所以不能为0。图中全共点确实做到1个，故n＝1。
最多：任意三条不共点
仍有5条直线、10对；交点位置有10个。
最少：五条全共点
仍有5条直线、10对；交点位置有1个。
最多与最少只是两个端点。还有部分直线共点、部分交点分开的摆法，交点个数可以在两者之间。
原题的m表示最多，n表示最少。它们不是直线条数；原题的直线条数始终是5。
所以m＋n＝10＋1＝11。
| 要数的东西 | 每一对怎样计数 |
|---|---|
| 城市对 | 甲乙与乙甲是同一对，共10对 |
| 单程票 | 甲→乙、乙→甲是两种，共20种 |
| 最多交点 | 每对一个且位置都不同，共10个 |
| 最少交点 | 10对共用一个位置，共1个 |
自测：改变条件，再判断
自测1：如果每张票都能在同一对城市之间往返使用，而且每对城市只设一种这样的往返票，五座城市需要几种票？先说为什么这次不乘2。
展开往返票的核对
10种。仍有10对城市，但现在每对只设一种往返票，所以10×1＝10。城市对数没有改变，改变的是每对要几种票。
自测2：如果取消“两两相交”，允许任意摆放五条不同的直线，最少能有0个交点吗？请画一种摆法说明理由。
展开改变摆法条件的核对
能。画五条互相平行的不同直线，就没有交点。原题最少为1的理由依赖“两两相交”；取消这个条件，结论会变。
配套真题：每两队只赛一场
2026·湖北·第7题（3分）
下面完整引用原卷题干与四个选项，原题没有附图。它直接检查同一个“不重不漏地数每一对”的关系。
注意字母的定义：下面的n重新表示球队数，与上面原题中表示“最少交点个数”的n含义不同。读新题时，要按新题重新认清字母。
2026 年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有 支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场），共需进行 136 场比赛，则可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
展开真题答案与配对理由
选A。每支球队都要与另外n−1支球队比赛，先得到n(n−1)。但“甲对乙”和“乙对甲”是同一场，每场被数了两次，所以要除以2。
比赛总场数为n(n−1)÷2，题目说共136场，所以可列方程n(n−1)÷2＝136。题目只要求列式，依据是每对只赛1场，不必先学解一元二次方程。
与车票题对照：去回单程票是两种，5×4直接得到20；两队只赛1场，5×4要除以2，得到10场。先问“交换顺序后是不是另一次”，再决定是否除以2。
出处：《2026年湖北省中考数学试卷》第2页第7题。题干、四个选项及无附图的题目边界已对照原卷预览影像核验。该题用于检查两两配对的列式；直线共点时的位置数，仍要依据本课的相交条件判断。
下次遇到“每两个”：先列不重不漏的对 → 看交换方向是否另算 → 数交处时再检查位置是否重复。
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