第5题 · 原有交点保留，再分类新增几个

题目

如图4-1-4，直线l₁，l₂相交于点P，在这个平面内，如果再画一条直线l₃，那么它们的交点个数可能有______。

答案：1个、2个或3个。 这里把“再画一条”理解为新增第三条不同的直线；描在原来的同一位置上，没有增加一条不同的直线。

先记住原来的交点P，再问第三条l₃会新增几个。线对的数目，与不同交点的数目，不是一回事。

先分清“原有”“新增”和“总数”

原图的l₁斜向上，l₂水平，已经相交于P。多画l₃不会让原来的P消失。每次判断都用同一个关系：

总数＝原来的1个交点＋新增的不同交点数。

“新增”要排除已经有的P，也要排除同一位置被数了两次。先看l₃过不过P，再检查平行关系。

第一种：l₃经过P，不新增交点

l₃虽然与l₁相交、也与l₂相交，但都交在P。三对直线共用了同一个位置，不能算成三个点。

原有1个＋新增0个＝总共1个。 只要三条不同直线都经过P，转动l₃的方向也不改变这个结论。

第二种：不过P，与其中一条平行

先让l₃与l₂平行。它不与l₂相交，只与l₁相交一次；这个新交点不是P，因为l₃没有经过P。

再换成l₃与l₁平行。它只与l₂相交一次，仍增加一个新交点。平行的是哪条原线变了，计数关系没有变。

两种摆法都是：原有1个＋新增1个＝总共2个。 l₃不可能同时与原来的两条都平行，因为l₁、l₂本来已经相交，方向不同。

第三种：不过P，两条都不平行

l₃分别与l₁、l₂相交。为什么这两次一定是两个不同的新点？

假如它们重合，这个点就同时在l₁与l₂上。两条原线只有P这一个公共点，所以重合处只能是P；这又会使l₃经过P，与“不过P”矛盾。因此两个新点不能重合。

原有1个＋新增2个＝总共3个。

为什么三种情况就够了

不是画出三个例子就算找全了。分类要覆盖每条可能的l₃：

一条直线要么经过P，要么不经过P；不经过P时，要么平行一条，要么两条都不平行。这些情形没有遗漏。三对不同直线，每对至多产生一个交点，所以也不可能超过3个。

● P：原来已有的交点，在当前画面内。

□ Q：新增交点，在当前画面内。

◇ R：新增交点，在当前画面外，延伸后仍然相交。

改变原有条件，重新判断

如果把题目改成“原来的l₁、l₂互相平行”，就没有原交点P可以保留。

三条都平行：0个

第三条与两条都相交：2个

三条不同直线都平行时，交点为0个。第三条不与它们平行时，会分别穿过两条平行线；两个交点不能重合，否则两条原线也会经过同一个点，就不是平行了。因此有2个。

改条件后是0个或2个，不能照抄原题的1个、2个或3个。

检查自己是否能说明理由

自测1： 有人说：“三条直线共有三个线对，所以一定有三个交点。”请画一种反例，说明他重复数了什么，或者忽略了什么。

展开核对自测1

例如让三条不同直线都经过P。虽然有三个线对，却只有同一个交点P；他把同一位置重复算了。也可以画出一对平行线，再让第三条分别穿过它们：有三个线对，但平行的那一对没有交点，实际只有两个。反例不唯一，条件和理由说清楚即可。

自测2： 原来的两条已改为平行。第三条若与其中一条相交，能否只得到1个交点？请先说明第三条与另一条会怎样。

展开核对自测2

不能。第三条既然能穿过其中一条，就不与它平行；原来的两条方向相同，所以第三条也会穿过另一条，得到另一个不同交点，共2个。这时原题“先保留P”的第一步已经不适用。

位置关系的中考迁移：一次函数三条直线

2024·北京·第22题。 下面完整保留原题两问，原卷没有配图。这段需要一次函数与不等式基础，可留到学过后再做。它把本课的“共点、平行、一般位置”用于研究三条函数直线，还要进一步比较每个x对应的函数值，不能只靠交点个数作答。

在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝−kx＋3的图象交于点（2，1）。

（1）求k，b的值；

（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx＋b的值，也大于函数y＝−kx＋3的值，直接写出m的取值范围。

展开真题答案与位置关系

（1）把（2，1）代入y＝−kx＋3，得1＝−2k＋3，所以k＝1。再代入y＝kx＋b，得1＝2＋b，所以b＝−1。

两条原线因此为y＝x−1、y＝−x＋3。第三条是y＝mx，它的位置随m改变：m＝1/2时三线共点，只有一个不同交点；m＝1或−1时恰有一对平行，共两个交点；其余允许的m是三个不同交点。这正是本课的分类关系。题目第（2）问还要求在所有x＞2的位置都比较函数值。

（2）答案为m≥1。若m≥1，对每个x＞2，都有mx≥x＞x−1；又因2x＞3，有x＞−x＋3，所以mx也大于−x＋3。

反过来，若m＜1，把x取得比2和1÷（1−m）都大，就有（1−m）x＞1，即mx＜x−1，不能满足“每一个值”的要求。因此m＜1全部排除。这个理由检查的是整个范围，不能只试x＝3之类的几个数。

边界m＝1可以保留：第三条y＝x与y＝x−1平行，函数值却始终大1；“平行”不表示“函数值相同”。

原卷出处：2024年北京市初中学业水平考试数学试卷，第4页第22题。已对照原卷卷名、第22题完整题干与两问核验；不把本课的辅助图当成原卷配图。

带走的方法：先保留已知交点 → 判断新线是否复用旧交点 → 检查平行 → 数不同位置，并说明分类为什么找全。 适用前提是同一平面中的不同直线；原有位置关系改变，第一步也要重新检查。

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