第4题 · 线段按端点对，射线按端点和方向

题目

如图4-1-3，图中直线共有______条，线段共有______条，射线共有______条，射线AB与射线______是同一条射线。

依次填：1、3、6、AC。 原图中，射线AB与射线AC是同一条射线。

先把三种对象分开：直线看实际位置，线段选两个端点，射线选端点和延伸方向。名字不同，不一定是不同对象。

一条直线，三个不重复的端点对

A、B、C在同一直线上。这条直线既能叫直线AB，也能叫直线AC或直线BC；图中实际只有1条直线。

线段按端点对登记：

所以线段有3条。线段AB与线段BA端点相同，只是名字倒写，不再算一条。

AC中间经过B，仍是一条线段。AB、BC和整段AC分别有不同的端点对，所以都要算；它们可以重叠，不要求彼此分开。

六条射线，不能只数能写出名字的那几条

这里按题目的通常计数范围，数以A、B、C这些已标点为端点，沿图中这条直线延伸的射线。不能把直线上没有标出的任意位置也拿来当新端点，否则就不止有限条了。

每个已标点向左、向右各有一条射线。三个端点，每点两条，共3×2＝6条。

只有其中4条射线能用图中现有两个字母命名；实际射线仍有6条。射线AB与BC虽然都向右，但端点分别是A、B，所以是不同的两条。

最后一空：端点与方向都要相同

射线AB以A为端点，从A经过B向右延伸；射线AC也以A为端点，从A经过C向右延伸。端点相同，而且方向相同，所以是同一条射线，填AC。

只看第一个字母都是A还不够：如果把C移到A左侧，射线AC就向左，而射线AB仍向右，不再相同。原题没有移动C，仍按A、B、C的原有顺序判断。

多一个点，新增什么

在C右侧增加点D。原来AB、AC、BC都保留；D分别与A、B、C配对，新添AD、BD、CD三条线段，所以共有3＋3＝6条线段。D另有向左、向右两条射线，所以共有6＋2＝8条射线。

检查自己能不能说明理由

自测1： 一条直线上，从左向右依次标出A、B、C、D。共有几条线段、几条射线？射线DA与DB是否相同？请先列端点对，并指出射线的端点和方向。

展开核对自测1

线段6条：AB、AC、AD、BC、BD、CD。射线8条：四个已标端点，每点左右两条。射线DA与DB端点都是D，方向都向左，因此相同。

自测2： 把上题改成只画两条分开的线段AB、CD，中间BC没有画出。还能直接说图中已有6条线段吗？

展开核对自测2

不能。图中只有AB、CD两条线段；AC、AD、BC、BD的中间部分没有画出。四点能组成六个端点对，不表示这六条线段都已存在于这张图中。要先核对题目画出了什么。

配对方法的中考迁移

2024·江苏苏州·第21题（6分）。 这题把“从四个对象里选一对”用在抽签中；核心仍是列全配对、分清是否计顺序。下面完整保留原题两问；概率是选学内容，先知道“等可能结果中，符合要求的份数÷总份数”。

一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀。

春

夏

秋

冬

（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______；

（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率。（请用画树状图或列表等方法说明理由）

展开真题答案与配对理由

（1）四种等可能结果中只有一张“夏”，概率为1/4。

（2）按“第一次、第二次”列表：行表示先抽的书签，列表示后抽的书签；横线表示同一张已经取走，不能再取：

先↓后→	春	夏	秋	冬
春	—	春、夏	春、秋	春、冬
夏	夏、春	—	夏、秋	夏、冬
秋	秋、春	秋、夏	—	秋、冬
冬	冬、春	冬、夏	冬、秋	—

共有4×3＝12种等可能的有序结果，符合要求的是“春、秋”和“秋、春”两种，概率为2/12＝1/6。

如果只看最终选了哪两张，不计先后，就像AB与BA不重复算线段一样，得到六对：春夏、春秋、春冬、夏秋、夏冬、秋冬。每对都对应两种抽取顺序，因此这六对也等可能，其中符合要求的只有“春秋”一对，仍得1/6。两种计数都可以，分子、分母必须使用同一种顺序约定。

原卷出处：苏州市教育局发布的2024年苏州市中考试题及参考答案。已对照官方数学卷第1页卷名、第4页第21题核验完整题干、两问和四张书签题图。图按题意重绘；书签上的装饰诗词不作为数学条件。

带走的方法：先规定数什么对象 → 用决定它的要素登记 → 检查不同名字是否重复 → 核对图中是否真的存在。 线段看端点对；给定直线上的射线看端点和方向。

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