第1题 · 等式变形：减a与加b何时等效

题目

1. 根据等式的性质，若等式 m=n 可以变形为 m−a=n+b，则（　　）。

A. a=b　　B. a=2b

C. a，b 互为倒数　　D. a+b=0

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按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。

1. m与n相等，比较减a与加b

原题给出小写 m 等于小写 n，两个起点相等。变形后，左边是小写 m 减小写 a，右边是小写 n 加小写 b。问题是，小写 a 与小写 b 满足什么关系，才能让两边仍然相等。

1m与n相等，比较减a与加b2先同减a，再比较两个右端3两边同加a，得到a＋b＝04用符合题设的例子检查其他选项5a与b可以为0，注意变化量的含义

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答案：D，a＋b＝0。左边减a与右边加b，必须带来相同的变化。

先看“从哪里变到哪里”

原来m＝n，两个起点相等。题目要求变成m−a＝n＋b：左边减去a，右边加上b。

先选一个能直接按性质执行的动作：在原等式两边同时减a。这样就能知道右边应该怎样写，再与题目要求比较。

先按性质写出右边，再和题目比较

左边

$$m$$

减去a

$$m-a$$

右边

$$n$$

同样减去a

$$n-a$$

题目希望右边写成n＋b，因此让这两个右端相等：

$$n-a=n+b$$

两边同减n，比较的是两边的变化量：

$$-a=b$$

两个方向都说明白

从题设可以推出：

$$m=n\quad\text{且}\quad m-a=n+b$$

两边同减a应得m−a＝n−a，所以：

$$n-a=n+b$$

两边同减n：

$$-a=b$$

两边同加a：

$$a+b=0$$

反过来，若a＋b＝0，那么b＝−a。右边加b就是加−a，也就是减a；两边都从相等的起点减a，结果仍相等。

所以a＋b＝0正是本题所需的条件。这里用的是相同的变化量，不要求左右两边的运算写法看起来一模一样。

用符合题设的例子检查A、B、C

符合题设的例子，用来核对并检查选项

取m＝n＝7，a＝2，b＝-2。

左边：m从7开始

减去a；变化量-2

$$m-a=7-(2)$$$$=5$$

右边：n从7开始

加上b；变化量-2

$$n+b=7+(-2)$$$$=5$$

左右结果相等。这个数值例子用于核对；一般成立的理由来自等式性质。

这组数确实满足m＝n，并且m−a与n＋b都等于5。现在再看：

• A要求a＝b，但这里2≠−2，所以A不是由题设必然得到的关系。
• B要求a＝2b，但2≠2×(−2)，所以B也不是必然关系。
• C要求a、b互为倒数，也就是ab＝1；这里2×(−2)＝−4，所以C也不是必然关系。

这个例子已经足以说明A、B、C都不必成立。D的一般理由仍是前面的推导，不是因为选的这一组数碰巧相加为0。

负数与0的边界

展开减负数与0的核对

a为负数：减去a也可能使数值增加

取m＝n＝7，a＝-2，b＝2。

左边：m从7开始

减去a；变化量2

$$m-a=7-(-2)$$$$=9$$

右边：n从7开始

加上b；变化量2

$$n+b=7+(2)$$$$=9$$

左右结果相等。这个数值例子用于核对；一般成立的理由来自等式性质。

当a＝−2，减去a就是减去−2，即加2；取b＝2，两边都从7变成9。因此不能把“减a”一律理解成数值变小。

a与b都为0：变形仍成立

取m＝n＝7，a＝0，b＝0。

左边：m从7开始

减去a；变化量0

$$m-a=7-(0)$$$$=7$$

右边：n从7开始

加上b；变化量0

$$n+b=7+(0)$$$$=7$$

左右结果相等。这个数值例子用于核对；一般成立的理由来自等式性质。

a＝b＝0时，A的a＝b、B的a＝2b与D的a＋b＝0可以同时成立。题目选的是一定能由题设推出的关系；其他关系在某些数值下也能成立，不代表它们都是必然的。

本题只有加减，没有除以a或b的操作，所以不需要额外要求a、b非0。

理解检查：换一种写法，仍比较变化量

若m＝n可以变形为m＋3a＝n−6，a应是多少？先指出左、右两边各加了什么数。

展开变化量与答案

左边加3a，右边相当于加−6。两个起点相等，结果也要相等，所以3a＝−6，得a＝−2。

例如仍取m＝n＝7，左边7＋3×(−2)＝1，右边7−6＝1。这个例子核对答案；3a＝−6才是由性质得到的关系。

看见相等的两个起点，经加减后仍要相等，可先写各自的变化量，再让变化量相等。减去负数、加上负数或变化量为0，都按相同规则处理。

相关中考原题：两边同减同一个量

这道真题直接用到相同的等式性质。先按每台天平读出两个相等的总质量，再从两边同时扣除相同物体的质量。

（2024·贵州·第11题）

小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡。若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（　　）

甲

左盘：■＋●；右盘：●＋▲＋▲

乙

左盘：■＋▲；右盘：■＋●＋●

按原题重绘；物体大小不表示质量。

A．x＝y

B．x＝2y

C．x＝4y

D．x＝5y

展开完整答案与两次同减的理由

选C，x＝4y。

甲天平两边各有一个●，两边同减它的质量，得到一个■与两个▲一样重。乙天平两边各有一个■，两边同减它的质量，得到一个▲与两个●一样重。

因此，一个■等于四个●的质量。原题设■的质量为x、●的质量为y，所以x＝4y。

若另设▲的质量为z，两台天平给x＋y＝y＋2z、x＋z＝x＋2y。两边分别同减y、同减x，得到x＝2z、z＝2y，再得x＝4y。原题只要求关系式，不应编造每种物体的具体克数。

出处：2024年贵州中考数学完整试卷，第11题。题干、x与y的定义、四个选项及两台天平，已与同卷安顺版试卷复刻的第11题逐项核对，复用同一完整原题与证据，图按题意重绘；答案默认折叠。