第7题 · 保留x＝0，检查“同除以x”是否有意义

（1）等式的性质1：两边同加同一个数，仍然相等。（2）错误在③：没有保证除数x非零，而原式恰好要求x＝0。（3）正确解为x＝0，代回原式两边都是−5。

先认三步，给每次变形找依据

“1＝3”明显不成立，但不能就此说原方程无解。要回头检查：从原式走到这个声称，哪一步用了不满足的前提？

固定导览先讲原题，最后一段明确换成k＝1的固定变式。自己探索时，k表示右边x的倍数；选的x只是代入核对用的候选值，不保证是解。

（1）①为什么成立，②又做了什么？

原式x−5＝3x−5，两边同时加5：

$$x-5+5=3x-5+5$$

依据是等式的性质1。两边的−5＋5都等于0，因此合并后得到②：x＝3x。这里没有使用除法，也没有要求x不为0。

（2）③需要的前提，原式能满足吗？

③想把x＝3x的两边同除以x，写成1＝3。这个做法需要x≠0。

先保留可能为0的x，两边同减x：

$$x-x=3x-x$$

得到0＝2x。因为2不为0，两边同除以2，得到0＝x，也就是x＝0。

于是可知，原式允许而且要求的值正是0；③实际碰到的是0÷0，没有数值结果。

“1＝3”只是小明错误约去x后写下的声称，不能把它说成0÷0算出的结果。也不能用这个错误声称反过来断定原方程无解。

（3）写出完整的正确解法

$$x-5=3x-5$$

两边同加5，得：

$$x=3x$$

两边同减x，得0＝2x；再两边同除以非零常数2，得：

$$x=0$$

代回原式：左边0−5＝−5，右边3×0−5＝−5，相等。因此x＝0确实是解。0＝2x且2≠0也说明没有别的解；不是仅靠代入几个数来证明唯一。

理解检查：把右边3x改为x，会怎样？

现在换成x−5＝x−5。它还只有x＝0这一个解吗？取x＝0和x＝2时，同除以x分别有没有意义？

展开解集与两次除法的区别

左右完全是同一个表达式，每个实数x都满足等式。像这样对每个允许的x都成立的等式，称为恒等式。

取x＝0

原式：−5＝−5，成立。

除数为0，0÷0无数值结果。

取x＝2

原式：−3＝−3，成立。

除数非0，两个商都是1，除法合法。

x＝0与x＝2都使原式成立。但x＝0时仍不能除；x＝2时可除，得到1＝1。

若不加说明就把两边除以x，实际上排除了原来允许的x＝0，解的范围改变了。不能因为这次写出的1＝1碰巧是真的，就忽略除法前提。

2024·安徽·第11题：整个除数非零

11. 若分式 $\dfrac{1}{x-4}$ 有意义，则实数x的取值范围是________。

展开原题答案与这条前提的连接

分母x−4必须不为0，所以x≠4。这里不是要求字母x本身非零，而是检查实际的整个除数。

$$x-4\ne0\quad\Longleftrightarrow\quad x\ne4$$

它直接练习除数非零的前提，不是把这道真题说成小明的三步纠错题。完整原题已核对，答案为x≠4。

出处：2024年安徽省初中学业水平考试数学原卷扫描，第2页第11题。复用已核验的原题、卷名、题号与分母；本题无选项、无附图。

带走的关系

先检查每次变形做了什么，再检查该运算的前提。除以谁，就查谁是否为0；把“除法无意义”“当前代入值不满足原式”和“原方程无解”分开判断。等式两边的合法同加、同减，可以帮助你先确定x，再决定某个除法能不能做。

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