第2题 · 同乘可以为0，同除必须非0

题目

2. 下列等式变形正确的是（　　）。

A. 若a＝b，则a−3＝3−b。

B. 若x＝y，则

C. 若a＝b，则ac＝bc。

D. 若

则b＝d。

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按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。

1. 逐项检查原前提与新式的定义范围

这道题要选的是能由原前提保证成立的变形，四个选项分别判断。先看原式有没有分母，是否已经含有非零要求，再看新式需要做什么运算。同加减同一个数或同乘同一个数能保持相等，同除则要求除数非零。

1逐项检查原前提与新式的定义范围2A把b减3写成3减b，不能保证3B的新除数a可能为04C同乘c，c为0也保持相等5D只能保证交叉乘积相等6检查推理方向与合法运算

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答案：C。由a＝b，两边同乘c，得到ac＝bc；c可以是0。

先给每个选项定清检查范围

四个选项是四条独立的“如果……那么……”。每一项按它自己的前提判断，不能把另一项的条件带过来。

检查的标准是：原前提有意义并成立时，新式是否一定也有意义、也成立。 个别数值碰巧成立，不能证明一条一般变形正确；一个符合前提却让结论失败的例子，就能说明它不保证成立。

A：同减3，右边应是b−3

原来a＝b。两边同减3，应得到：

$$a-3=b-3$$

题目写成3−b，颠倒了减法里的位置。减法不能随意交换两个数。

A的反例：先满足a＝b，再核对新式

取a＝b＝5。

左边a−3

$$a-3=5-3$$$$=2$$

右边3−b

$$3-b=3-5$$$$=-2$$

2≠-2，所以A不能保证成立。

当a＝b＝3时，两边碰巧都为0，也不构成一般证明。题目要的是由给定前提能保证成立的变形。

B：原前提没有保证除数a非0

x＝y只说明x与y相等，没有限制另一个数a。两边同除以a时，必须先保证a≠0。

B的缺项：除数a可能为0

取x＝y＝7，a＝0。原前提x＝y成立。

新式需要计算下面的除法：

$$\dfrac{7}{0}$$除数为0，无数值结果。

不能把它算成0，也不能当作两个可比较的数。

此时新式没有数值结果，不能说“左右都等于0”。因此，B缺少保证变形合法的条件。

展开a非0时的核对

补上a≠0后，B的同除法则可以使用

取x＝y＝7，a＝2。

左边x/a

$$\dfrac{7}{2}$$

右边y/a

$$\dfrac{7}{2}$$

两个结果都为7/2；缺少的是保证除数非0的条件。

补上a≠0后，两边同除以同一个a是合法的。它在满足额外条件时成立，不能代替原选项缺失的保证。

C：两边同乘c，c为0也允许

给定a＝b，两边同乘同一个数c，得到：

$$ac=bc$$

无论c为正数、负数还是0，乘法都有意义，也能保持相等。

C包含乘0：仍能从相等推出相等

取a＝b＝7，c＝0。

左边ac

$$7\times0$$$$=0$$

右边bc

$$7\times0$$$$=0$$

0＝0，正向结论仍成立。对其他有定义的c，两边同乘也保持相等。

这里讲的是由a＝b推出ac＝bc。乘0以后只保留两个乘积都为0，不一定还能从乘积恢复原来的数值信息。

D：原分母非0，但商相等不保证分子相等

D的前提本身含有分式：

$$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$$

要使原前提有意义，a、c本来就必须非0。这与B不同：B的原前提x＝y根本没有涉及除以a。

在D的合法前提下，两边同乘ac，得到：

$$bc=ad$$

它不是b＝d。题目没有给a＝c，不能保证两个分母相同，也就不能直接把两个分母各自去掉后比较分子。

D的反例：原来的两个商相等

取a＝2、b＝4、c＝3、d＝6，两个分母都非0。

$$\dfrac{4}{2}=\dfrac{6}{3}=2$$

分子b

$$b=4$$

分子d

$$d=6$$

4≠6，商相等不能直接推出分子相等。

$$bc=4\times3=12$$$$ad=2\times6=12$$

某些额外条件下，分子也可以相等，例如a＝c且非0，或两个原分子都为0。但原前提并不能保证这些情况，所以D不是一般正确的结论。

理解检查：方向反过来，条件还够吗？

如果已知ac＝bc，能否直接推出a＝b？补上什么条件就能保证？

展开反向检查与必要前提

反向检查：乘0后相等，不保证原来的两个数相等

取a＝2、b＝3、c＝0。这里用于检查从ac＝bc反推a＝b。

$$2\times0=0$$

$$3\times0=0$$

乘积相等，但a≠b。除以0无意义，不能借此反推。

不一定。补上c≠0，两边同除以c，才能保证由ac＝bc得到a＝b。c＝0时，a、b即使不相等，也有ac＝bc＝0。

这个例子用于检查反方向的新前提ac＝bc；它不满足原选项C的a＝b前提，也不需要满足，因为现在考查的是另一条推理。

检查等式变形时，先确定原前提的定义范围，再检查运算是否保持相等。用例子反驳一般结论前，要确认例子满足该条推理的前提；反过来推时，也重新检查所用操作是否合法。

相关中考原题：同减相同质量，保持两边相等

这道真题直接应用等式性质与等量代换。它展示两边同减相同物体的质量；本题同乘0、除数非0的边界，已在上面的各项与自测中说明。

（2024·贵州·第11题）

小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡。若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（　　）

甲

左盘：■＋●；右盘：●＋▲＋▲

乙

左盘：■＋▲；右盘：■＋●＋●

按原题重绘；物体大小不表示质量。

A．x＝y

B．x＝2y

C．x＝4y

D．x＝5y

展开完整答案与性质依据

选C，x＝4y。

甲天平两边各去掉一个●，相当于两边同减同一个y，得一个■与两个▲一样重。乙天平两边各去掉一个■，相当于两边同减同一个x，得一个▲与两个●一样重。

因此，一个■等于四个●的质量，x＝4y。另设▲的质量为z，则两条原等式为x＋y＝y＋2z、x＋z＝x＋2y，分别化简为x＝2z、z＝2y，再代换得到x＝4y。

原题只求x与y的关系，没有给每种物体的绝对质量，保留倍数关系即可。

出处：2024年贵州中考数学完整试卷，第11题。题干、四个选项及两台天平的摆放，已与同卷安顺版试卷复刻的第11题逐项核对，复用完整原题与证据；图按题意重绘，答案默认折叠。