第10题 · 除要查零，乘不用查

由 (a+3)x=b−1 除以 a+3 得 x=(b−1)/(a+3) 需要 a+3≠0，a 是字母没有保证，所以不一定可以；反过来分数本身要求分母非零，两边同乘 a+3 总是允许，一定可以。

题目

能不能由 (a+3)x=b−1 得到等式 x=(b−1)/(a+3)？为什么？反之，能不能由 x=(b−1)/(a+3) 得到 (a+3)x=b−1？为什么？

答案：正向不一定可以——需要 a+3≠0；反向一定可以。

这一步是两边同除以 a+3。性质 2 要求除数不为零，也就是 a+3≠0，即 a≠−3。

题目里的 a 是字母，没有谁保证 a≠−3。当 a=−3 时，左边 (a+3)x=0·x=0，方程变成 0=b−1；此时除以 a+3 就是除以 0，式子无意义。

所以：不一定可以——只有在 a≠−3 时才能这样变形。

这一步是两边同乘 a+3。乘法不需要“非零”条件，两边同乘任何数等式都保持。

而且 x=(b−1)/(a+3) 这个分数本身要有意义，就必须 a+3≠0——分数线自带这个保证。所以反向变形一定可以。

自测：能不能由 (m−2)x=5 得到 x=5/(m−2)？反过来呢？

展开核对

正向是除以 m−2，需要 m≠2，字母 m 没有保证，不一定可以；反向从分数 5/(m−2) 出发，分母已保证 m−2≠0，两边同乘 m−2 一定可以。结构完全同构：除查零、乘不查。

线索（含字母系数的方程变形、问“能不能”）→ 核心关系（除法要除数非零，乘法无限制；分数线自带分母非零）→ 动作（圈出变形里的除式，问“它可能为 0 吗”）→ 适用条件（字母取值未受限时，一律按“可能为零”对待；题目补了 a≠−3 这类条件才可放心除）。