第11题 · 两次称量：先把杯子的总质量与单个质量分清

题目

11. 我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质。

【提出问题】 能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？

【实验探究】 准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在表5-1-1中。

【解决问题】

（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；

（2）分别求出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量。

答案：（1）第一格4x＋10，第二格3x−10。（2）x＝4，每个乒乓球4克，每个纸杯2克。

先看每一格在问多少个杯子

x表示每个乒乓球的质量数值，单位为克。同一种物品的质量保持不变，天平平衡表示左、右两盘的总质量相等。

表格有六列，手机上可以左右滑动查看。第一条记录有13个杯子，最后一格问它们的总质量；第二条记录只有1个杯子，最后一格就是这个杯子的质量。

圆形：球梯形：杯矩形：10克砝码

记录一：按原实验摆放

左盘4个乒乓球＋1个10克砝码

右盘13个纸杯

原题给出这次实验平衡；x仍表示每个球的质量。

记录二：按原实验摆放

左盘3个乒乓球

右盘1个纸杯＋1个10克砝码

原题给出这次实验平衡；x仍表示每个球的质量。

（1）逐条补表

记录一左盘是4个球加一个10克砝码，总质量为4x＋10克。两盘平衡，所以13个杯子的总质量也是4x＋10克，第一格填4x＋10。

记录二左盘是3个球，共3x克；右盘的总质量由一个杯子和10克砝码组成。因此，从总质量3x中扣除已知10克，得到1个杯子的质量3x−10克，第二格填3x−10。

质量组成的计算示意，不按克数比例绘制。原天平的摆放保持不变。

总质量3x＝杯的部分＋10克

左侧实线框：杯的部分右侧深框：10克

虚线框留作原位置参照。

杯的质量＝3x−10克。

这里分拆的是计算用的质量示意。原来记录二的球、杯子和砝码仍保持原来的摆放，图上两盘仍按原记录平衡。实际称量时，单独从右盘拿走10克砝码会改变平衡。

（2）先统一到一个杯子的质量

记录一给13个杯子总质量4x＋10克，要平均分成13份：

这才是一个杯子的质量。记录二的3x−10已经是一个杯子的质量。两种算法指向同一个量，所以列：

不能直接列4x＋10＝3x−10，因为左边表示13个杯子，右边只表示1个杯子。

解方程：每一步在两边做同样的事

先把单个杯子的比较换成13个杯子的比较：两边同乘13。右边13要乘整个括号：

$$4x+10=13(3x-10)$$

用乘法分配律展开：

$$4x+10=39x-130$$

两边都减4x，再都加130，保持相等：

$$140=35x$$

两边同除以35：

$$x=4$$

把4代入记录二，一个杯子的质量为：

$$3\times4-10=2\ \text{克}$$

这条推理说明本题的两条条件怎样共同确定质量。若只是把同一次称量重复记录两遍，可能没有增加新的信息，不能只数有两条记录就断定一定能求出两个质量。

分别代回原来的两次称量

圆形：球梯形：杯矩形：10克砝码

记录一：试重核对

左盘4个乒乓球＋1个10克砝码

右盘13个纸杯

左盘总质量26克

右盘总质量26克

两盘同重，这条记录成立。

记录二：试重核对

左盘3个乒乓球

右盘1个纸杯＋1个10克砝码

左盘总质量12克

右盘总质量12克

两盘同重，这条记录成立。

记录一：4×4＋10＝26克，13×2＝26克。记录二：3×4＝12克，2＋10＝12克。两次平衡都成立，才同时满足原题的两个条件。

有声演示与自己试重

固定讲解按原题示范。进入自己探索后，可以给球、杯试选不同的正质量，再分别比较两条记录的左右总质量。

自测：质量是分数，实验还能成立吗？

另有一组独立的称量实验：第一条为“左盘2个球加10克，右盘7个杯子，平衡”；第二条为“左盘3个球，右盘1个杯子加10克，平衡”。在这一组实验中，同类物品的质量仍保持不变。求这组球和杯各多重，并说明怎样核对。

展开答案与两次核对

设每个球x克，另把每个杯子的质量记为c克。两条记录分别为2x＋10＝7c、3x＝c＋10。

第二式给c＝3x−10，代入第一式：2x＋10＝7(3x−10)，展开并在两边做同样运算，得19x＝80。

$$x=\dfrac{80}{19},\quad c=\dfrac{50}{19}$$

所以每个球80/19克，每个杯子50/19克。它们都是正数，质量不要求是整数。

圆形：球梯形：杯矩形：10克砝码

记录一：试重核对

左盘2个乒乓球＋1个10克砝码

右盘7个纸杯

左盘总质量350/19克

右盘总质量350/19克

两盘同重，这条记录成立。

记录二：试重核对

左盘3个乒乓球

右盘1个纸杯＋1个10克砝码

左盘总质量240/19克

右盘总质量240/19克

两盘同重，这条记录成立。

记录一：2×(80/19)＋10＝350/19克，7×(50/19)＝350/19克。记录二：3×(80/19)＝240/19克，50/19＋10＝240/19克。

两次称量均成立。这组理想称量数据自洽，分数结果不构成否定它的理由。

看见“同类物品质量恒定、左右平衡”，就分别写出两盘总质量，再找可以统一比较的同一个量。换摆放或换杯子个数后，要重新列关系；求出的质量为正、每次称量都成立，是核对的依据。

相关中考原题：由两次平衡建立关系

这道真题也要求从两台天平分别读出相等关系，再用共同物体的质量把两条关系接起来。题目只求x与y的关系，不要求称出每种物体具体多少克。

（2024·贵州·第11题）

小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡。若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（　　）

甲

左盘：■＋●；右盘：●＋▲＋▲

乙

左盘：■＋▲；右盘：■＋●＋●

按原题重绘；物体大小不表示质量。

A．x＝y

B．x＝2y

C．x＝4y

D．x＝5y

展开答案与逐台比较的理由

选C，x＝4y。

甲天平两边各有一个●，扣除相同质量后，得到一个■与两个▲一样重。乙天平两边各有一个■，扣除相同质量后，得到一个▲与两个●一样重。

因此，一个■与四个●一样重。■的质量是x，●的质量是y，所以x＝4y。

若另设▲的质量为z，也可写x＋y＝y＋2z、x＋z＝x＋2y，分别化简得x＝2z、z＝2y，再得x＝4y。它们确定了质量之间的倍数关系；缺少绝对质量数据时，无须编出具体克数。

出处：2024年贵州中考数学完整试卷，第11题。题干、四个选项与两台天平的摆放，另与同卷安顺版试卷复刻的第11题逐项核对，图按题意重绘；答案默认折叠。