第12题 · 分组进社区：两种设法，分别列式
按每社区安排1组理解。x表示社区数时，分别表示同一全班人数；y表示全班人数时，分别表示同一社区数。先说明所求量，再处理余下7人与所缺9人。两问只要求列方程。
题目
12. 为营造良好的社区环境，让垃圾分类家喻户晓，七（1）班同学对学校周边所有社区开展“社区垃圾分类知识宣讲”综合实践活动，采取分组进社区宣讲的方式，每组进入一个社区。若 5 名同学为一组，则剩余 7 名同学；若 7 名同学为一组，则缺 9 名同学。
（1）如果设学校周边有 x 个社区，你可以列出什么样的方程？
（2）如果设七（1）班有 y 名同学，你可以列出什么样的方程？
听讲解
按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。
这道题的两问都只要求列方程，先按每个社区安排一组来理解分组。第一问的小写 x 是社区个数，第二问的小写 y 是全班人数，两个字母要分别按本问定义来读。两种方案面对同一批同学和同一批社区，所以可以从同一总人数，或同一社区数建立相等关系。
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按每个社区安排1组来列式：（1）5x＋7＝7x−9；（2）(y−7)/5＝(y＋9)/7。两问都只要求列方程。
先固定这道题里的对应关系
题目说每组进入一个社区。这里按每个社区安排1组来列式，所以本题的组数与社区数相同。后面若改变每个社区的组数，这个对应也要跟着改。
两种方案分别安排同一批同学、同一批社区。第一问设x为社区数，第二问另设y为全班人数；每一问的方程各自只有一个未知数。
（1）x表示社区数，比较全班人数
每个社区一组，x个社区就安排x组。
5人一组时，入组的有5x人，外面还余下7人。全班包括这两部分，所以全班人数为5x＋7。
7人一组时，要为x个社区配足，需要7x人。实际还缺9人，说明原有的全班人数比计划的7x少9，所以是7x−9。
本图按每个社区安排1组来读；图块只说明组成关系，不按人数比例绘制。
每组5人，x组
两部分合起来才是全班人数。
每组7人，x组
按计划配足需要7x人。
从计划需要的人数扣掉缺口，得到实际全班人数。
同一批同学的总人数没有变，所以两个表达式相等。
两种算法都表示同一个班的总人数：
（2）y表示全班人数，比较社区数
5人一组时，有7人没有进这些组。先从全班y人中扣除这7人，得到y−7人实际入组；再除以每组5人：
得到的是组数。因为本题每社区一组，这也是社区数。
7人一组时，原有人数不够，先补上所缺9人，才得到配足所有组需要的y＋9人；再除以每组7人：
它也表示同一批社区的个数。
本图按每个社区安排1组来读；图块只说明组成关系，不按人数比例绘制。
5人一组的方案
全班y人
扣除余下7人y−7人：实际入组的人数
每社区需要5人，除以5得到社区数
7人一组的方案
全班y人
补上所缺9人y+9人：配足这些组所需的人数
每社区需要7人，除以7得到社区数
两条都在算同一批社区，所以两个商相等。
因此列：
分母5、7都是常数，每个方程分别只有x或y一个未知数。本题到列式就完成要求，不必继续求解。
加减要跟着当前计算的量走
求实际全班人数时，用5x加7；已知全班y人，要找实际入组人数时，用y减7。这两步都谈“余下7人”，加减却不同，因为准备求的量不同。
同样，求原有全班人数时，用计划7x减9；要把y人补足计划时，用y加9。把总量、已有部分、余下部分或缺口之间的关系说明白，比记“剩加缺减”可靠。
可选：把数值放回两种设法核对
展开原题的数值核对
第（1）式化为2x＝16，可得x＝8个社区；人数为5×8＋7＝47。用另一方案核对：7×8−9＝47。
把y＝47放回第（2）式：
两边都是8个社区。社区数与学生人数在本题里按“个”“名”计数，核对时还应是正整数。
理解检查：每个社区改为安排2组
其他条件不变，仍然5人一组余7人、7人一组缺9人。若x仍表示社区数，第（1）问的式子应怎样改？先说明组数是多少。
展开关系与列式
x个社区，每个社区2组，总组数就是2x。5人一组时，已安排的人数为5×2x＝10x；7人一组时，计划需要7×2x＝14x。
本图按每个社区安排2组来读；图块只说明组成关系，不按人数比例绘制。
每组5人，2x组
两部分合起来才是全班人数。
每组7人，2x组
按计划配足需要14x人。
从计划需要的人数扣掉缺口，得到实际全班人数。
同一批同学的总人数没有变，所以两个表达式相等。
这里改变了“社区数怎样对应组数”。x仍表示社区数，不能把组数继续直接当作x。
识别两种方案后，先确定不变的那批人或社区，再把同一个量分别表达。字母代表什么、每组安排多少人、每社区安排几组，都会影响表达式；余缺的加减由所求量与各部分的关系决定。
相关中考原题：同一物价的两种表达
这道真题也把两个方案接到同一个量上。它在自己的题干中设x为人数、y为物价，按它的定义来读。
（2023·山东威海·第13题） 《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有人，该物品价值元，根据题意列方程组：________。
展开完整答案与余缺的含义
每人出8元，总款8x元，比物价多3元，所以物价y＝8x−3；每人出7元，总款7x元，比物价少4元，所以物价y＝7x＋4。
这就是原题要求的方程组。先看同一物价，两式可接成8x−3＝7x＋4，得x＝7，再得y＝53。核对：8×7−3＝53，7×7＋4＝53。
本题的余7用于重建全班人数，所以加7；这道真题的盈3用于从已募集的款中求物价，所以减3。所求的量不同，不能只凭“余”“盈”“缺”选符号。
出处：2023年山东威海中考数学完整试卷，第13题。原题古文、现代说明、x与y的定义及所求已在项目内逐字核验，复用同一完整原题与来源证据；答案默认折叠。